2013年全国高中数学联赛word版本模板.docVIP

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2013年全国高中数学联合竞赛一试试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分. ，集合, 则集合中所有元素的和为____________． 2．在平面直角坐标系中，点在抛物线上，满足，是抛物线的焦点. 则=_____________. 3．在中，已知，则的值为______. 4．已知正三棱锥底面边长为，高为，则其内切球半径为________. 5．设为实数，函数满足：对任意，有. 则的最大值为_____________. 6．从中任取个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为__________. 7．若实数满足，则的取值范围是____________. 8．已知数列共有项，其中，且对每个，均有，则这样的数列的个数为__________. 二、解答题：本大题共3小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9．（本题满分16分）给定正数数列满足，这里. 证明：存在常数，使得 . 10．（本题满分20分）在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上不同于和的任意一点. 若平面中两个点满足，试确定线段的长度与的大小关系，并给出证明. 11．（本题满分20分）求所有的正实数对，使得函数满足：对任意实数，有. ..