2013河北高中数学竞赛预赛(含答案)模板.docVIP

2013年河北省高中数学竞赛（高三组）试题 一、填空题：共8道小题，每小题8分，共64分．将每小题的答案填在题后的横线上． 1.已知集合，，则= ． 2.已知复数满足，那么= ． 3.某科技创新大赛设有一、二、三等奖（参与活动的都有奖），且相应奖项获奖的概率是以为首项、2为公比的等比数列，相应的奖金依次是以700元为首项、元为公差的等差数列，则参加此次大赛获得奖金的期望是 元． 4.的值是 ． 5.定义在上的函数满足，且对任意的，都有，则不等式的解集为 ． 6.圆的方程为，，在圆上取一个动点，设点满足且．则点的轨迹方程为 ． 7.为100条共面且不同的直线，若其中编号为的直线互相平行，编号为的直线都过定点．则这100条直线的交点个数最多为 ． 8.过正四面体的四个顶点分别作四个相互平行的平面，若每相邻两个平面间的距离都为1，则该四面体的体积为 ． 二、解答题：共6道小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9.（本题满分14分）设的内角所对的边分别为，且． （Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的取值范围． 10. （本题满分14分）如图，在直三棱柱中，，，，．点在棱上，且. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）当为何值时，二面角的大小为？ 11. （本题满分14分）已知数列满足：，，， （Ⅰ）求数列的通项公式；　（Ⅱ）求使不等式成立的所有正整数的值． 12. （本题满分14分）在椭圆中定义：过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦，叫做椭圆的通径．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为、，其离心率为，通径长为3. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过的直线交椭圆于两点，分别为的内心，延长交椭圆于点． （ⅰ）求四边形与的面积的比值； （ⅱ）在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 13. （本题满分15分）已知函数． （Ⅰ）若在区间上单调递增，求实数的取值范围； （Ⅱ）若在区间上，函数的图象恒在曲线下方，求的取值范围． 14. （本题满分15分）设，求使为完全平方数的整数的值． .. 1 2013高中数学竞赛 第 页 河北预赛