第四节反常二重积分与三重积分简介2.pptVIP

*第四节 反常二重积分与 三重积分简介 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一. 反常二重积分 二. 三重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 教学目标 掌握广义二重积分的定义与计算. 掌握三重积分的定义与计算.. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业：P67 1(1), 2, 3,4 二重积分的被积函数和积分区域都是有界的, 但是在实际 应用中有时会遇到积分区域和被积函数无界的二重积分, 我 们称这样的二重积分为反常二重分. 下面只研究无界区域上的二重积分的计算方法. 无限区间上一元函数的反常积分是将其转化为相应有限区 间上定积分在积分上、下限趋于无穷大时的极限, 如果极限 存在则反常积分收敛, 否则就发散. 类似地, 对于无界区域上 的反常二重积分也是转化为对相应有界区域上的二重积分的 极限的研究. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一. 反常二重积分 积分, 并记为 于D 时, 均有极限 存在, 则称此极限值 I为?(x, y)在无界区域 D上的反常二重 是D上的任意一个闭区域. 若 G 以任何方式无限扩展且趋 定义2 设D是xy面上的无界区域, ?(x, y)在 D上连续且 G 机动 目录 上页 下页 返回 结束 此时称?(x, y)在 D上可积或反常二重积分 收敛, 否则, 称反常二重积分发散. 注 由定义1知: 要求反常二重积分, 只需仿照一元反常积 再求二重极限即可. 分, 先求二重积分, 例1 计算 其中区域 D 是整个 xy平面, 并由 此计算概率积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 由于 在直角坐标系中无法计算, 现将它放在极坐标系下计算. 的原函数不是初等函数, 则此例的二重积分 整个 xy 平面用极坐标表示为 则有 而 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 令 则 从而 机动 目录 上页 下页 返回 结束 图8.4.1 注 函数 是概率统计中非常重要的一种 密度函数——标准正态分布随 机变量的密度函数, 如图 8.4.1 所示. 由例1知它在实数轴上的反常积分为1. 计算反常二重积分. 例2 设二元函数 解 由于被积函数?(x, y) 仅在第一象限不为0, 因此只需 计算积分区域D在第一象限部分D1 的二重积分即可, 如图8.4.2. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 图8.4.2 则 定积分与二重积分作为和式的极限的概念, 可以很自然地 推广到三重积分. 一元函数在有限闭区间上的积分是定积分, 二元函数在平面有界闭区域上的积分是二重积分, 那么我们 称三元函数在空间有界闭区域上的积分为三重积分. 为此, 在领会了定积分、二重积分的积分思想的基础上, 不作理论 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二. 三重积分 分析, 直接给出三重积分的概念. 类似二重积分解决问题的思想, 采用 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 解决方法: 定义3 设 ?(x, y, z) 是定义在空间有界闭区域 上的三元函 数将区域 任意分割成 n 个小闭区域 并以 分别表示第 i 个小闭区域的体积和直径, 记 当各小闭区域中的最大直径 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 三重积分的概念 和 我们在每个小闭区域 上任取一点 作和式 (此时有 时, 若极限 存在且与区域的分法及点 的选取无关, 则称函数 ?(x, y, z) 在闭区域 上是可积的, 并称此极限值为函数 ?(x, y, z) 在闭区域 上的三重积分(triple integral), 记作 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中 称为积分区域, 称为被积函数, 称为被积表达式, 称为体积元素, 称为积分变量, 亦称为积分值． 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由定义3可推出如下结论: 定理4 若函数 在闭区域 上连续,则函数 在闭区域 上可积． 2. 在空间直角坐标系下三重积分的计算 在空间直角坐标系中, 如果用平行于 x y, y z, z x三个坐标 面的平面簇分割积分区域 得到的小区域除含边界的小 区域不规则外, 其余有代表性的小区域均为长方体, 其棱长 分别为 于是 的体积元素 机动 目录 上页 下页 返回 结束 从而三 重积分可表为 二重积分的计算是转化为二次积分来计算, 同