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对柳比莫夫摆运动规律研究张邦健、陈永强、田心怡、丰七星（内江师范学院物电学院09级1班）摘要 本文推出了柳比莫夫摆的动力学特征方程，证明柳比莫夫摆做非匀速圆周运动，并得到了柳比莫夫摆的周期公式。利用本文结果研究表明，小球质量远远小于框的质量时的周期公式可以作为柳比莫夫摆运动周期公式的特例给出。关键词 柳比莫夫摆 特征方程 周期1. 问题的提出图1所示为柳比莫夫摆，框架上悬挂小球，将小球移开平衡位置并给其一起切向速度，同时释放框架。当时，小球绕框做匀速圆周运动。那么不满足这个条件时，而是m与M可比拟时，小球又将做怎样的运动呢？本文研究了柳比莫夫摆的动力学特征，结合Mathematica进行分析，并给出了正确的结论。2．柳比莫夫摆的动力学特征方程Mm图1 柳比莫夫摆装置图图我们采用隔离法来建立方程，首先以M为研究对象，该物体受到三个力的作用，即重力，绳对框的拉力，杆对框的作用力，如图2所示Mm图1 柳比莫夫摆装置图图图2图2 框的受力示意图根据牛顿第二定律可知 （1）式中 （2）由于M固定在两杆之间，只有在y轴方向上才有加速度，因此有 （3） y轴方向上有　　　　　　　　　　　　 　　　　 （4）再以小球作为研究对象，该物体收到三个力，即重力，绳给小球的拉力，惯性力的作用，如图3所示。图3图3 小球的受力示意图根据牛顿第二定律，有 （5）式中 （6）其中，，均为小球相对于框的加速度对应的x、y轴上的标量方程为　　　　　　　　 （7）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （8）利用x、y方向的分速度与夹角的关系可知　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （9）对m建立轨迹法线方向动力学方程方程，有　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （10）其中，，均为小球相对于框的速度由（4）（7）得　　　　　　　　　　　　　　　　 （11）由（8）（10）得 　　　　　　　 　 （12）（11）代入（12）得　　　　　　　　　　　　　 （13）根据加速度间的关系可知　　　　　　　　　　 （14）再对m建立轨迹切线方向动力学方程，有　　　　　　　　　　　　　　 （15）联立（11）（14）（15）可解得 （16） （17）将其代入（13）得