2.1.2求曲线方程(第二课时).pptVIP

2．1.2　求曲线的方程 1．在我们的现实生活中，处处可见曲线的身影，从飞逝的流星到雨后的彩虹，从古代的石拱桥到现代雄伟壮观的跨江(河)桥梁，从众多的商品设计到卫星上天的控制等等，无不体现人们对曲线的刻画和应用．随着科学技术的运用，设计者运用点的坐标来刻画曲线，即把曲线数量化，曲线与点的坐标如何建立联系呢？ 2．你能求出到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点所满足的方程吗？求曲线方程的一般步骤是什么？ 求曲线的方程的一般步骤 教材P36例3 2.建立适当的坐标系 (1)若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐标系； (2)若已知两定点，常以两定点的中点为原点，两定点所在的直线为x轴建立直角坐标系； (3)若已知两条互相垂直的直线，则以它们为坐标轴建立直角坐标系； (4)若已知一定点和一定直线，常以点到直线的垂线段的中点为原点，以点到直线的垂线的反向延长线为x轴建立直角坐标系． 已知Rt△ABC，|AB|＝2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程． [解题过程]　 以AB所在直线为x轴，AB的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则有A(－a,0)，B(a,0)，设顶点C(x，y)． 由△ABC是直角三角形可知|OC|＝|OB|＝a， C点的轨迹是以O为圆心，以a为半径的圆(除去A、B两点) ∴C点的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)． [题后感悟]　(1)求曲线的方程时，若题设条件中无坐标系，则需要恰当建系，要遵循垂直性和对称性的原则，即借助图形中互相垂直的直线建系，借助图形的对称性建系．一方面让尽量多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简洁． (2)如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程．利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义特征． 2.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程． 动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程． 3.已知点A是抛物线y＝x2－4上的动点，过A作AB⊥x轴，垂足为B，试求线段AB的中点M的轨迹方程． 解析：　设M(x，y)，A(x0，y0)，则B点坐标为(x0,0)．∵M为线段AB的中点， 3．求曲线方程(轨迹方程)常见的方法 直接法 1．已知A(1,0)，B(－1,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝2，则点M的轨迹方程是(　　) A．y＝0(－1≤x≤1)　 B．y＝0(x≥1) C．y＝0(x≤－1) D．y＝0(|x|≥1) 答案：　C 解析：　根据圆的定义，到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，故点M的轨迹是以O为圆心、以2为半径的圆弧．故选D. 答案：　D 4．已知△ABC，A(－2,0)，B(0，－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x2－1上移动，求△ABC的重心的轨迹方程． ◎等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个顶点是B(3,5)，求另一个顶点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？ 【错因】　造成以上错误的原因是没有认真考虑题目要求的几何条件实际上有两个：(1)A、B、C三点要组成一个三角形；(2)A、B、C三点组成的三角形是一个等腰三角形．错解过程中，只是根据条件(2)，由|AC|＝|AB|求出方程，所得方程保证满足条件(2)，而无法保证满足条件(1)，解题后没有进行检验，因此造成解题不严密． 检验所求的方程中有无特殊点情况 (5)检验 化方程f(x，y)＝0为最简形式(运算要合理，准确) (4)化简 用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)＝0 (3)列方程 写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)} (2)找等量 建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标 (1)建系设点 方法 步骤 例1.已知一条直线l和它上方的一个点A，点A到l的距离是2,一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到A的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程. 取直线l为x轴,过点A且垂直于直线l的直线为y轴,建立坐标系xOy, 解： 因为曲线在x轴的上方，所以y＞0, 所以曲线的方程是 设点M(x,y)是曲线上任意一点，MB⊥x轴，垂足是B， 根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数 待定系数法 动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程 代入法