2017年03月09日初中数学奥数题.docVIP

第PAGE1页（共NUMPAGES1页） 2017年03月09日2466813181的初中数学组卷　一．解答题（共30小题）1．对于任何实数，我们规定符号的意义是：=ad﹣bc．按照这个规定请你计算：当x2﹣3x+1=0时，的值．2．归纳与猜想：（1）计算：①（x﹣1）（x+1）=　　；②（x﹣1）（x2+x+1）=　　；③（x﹣1）（x3+x2+x+1）=　　；（2）根据以上结果，写出下列各式的结果．①（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=　　；②（x﹣1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=　　；（3）（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x2+x+1）=　　（n为整数）；（4）若（x﹣1）?m=x15﹣1，则m=　　；（5）根据猜想的规律，计算：226+225+…+2+1．3．观察下列各式：（x﹣1）÷（x﹣1）=1；（x2﹣1）÷（x﹣1）=x+1；（x3﹣1）÷（x﹣1）=x2+x+1；（x4﹣1）÷（x﹣1）=x3+x2+x+1；（1）根据上面各式的规律可得（xn+1﹣1）÷（x﹣1）=　　；（2）利用（1）的结论求22015+22014+…+2+1的值；（3）若1+x+x2+…+x2015=0，求x2016的值．4．如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形（a＞b），沿图中虚线用剪刀均匀分成四块相同小长方形，然后按图2方式拼成一个大正方形（1）你认为图2中大正方形的边长为　　；小正方形（阴影部分）的边长为　　．（用含a、b代数式表示）（2）仔细观察图2，利用图2中存在的面积关系，直接写出下列三个代数式：（a﹣b）2，（a+b）2，4ab之间的等量关系（3）利用（2）中得出的结论解决下面的问题：已知a+b=7，ab=6，求代数式（a﹣b）的值．5．如图是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．（1）请利用图2中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a、b的恒等式　　．（2）若a+b=10，ab=6，根据你所得到的恒等式，求（a﹣b）的值．6．（1）如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积；方法①　　；方法②　　；由此可以验证的乘法公式是　　．（2）类似地，在边长为a的正方体上割去一个边长为b（b＜a）的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中余下几个几何体的体积．方法①　　；方法②　　；由此可以得到的等式是　　，并证明这个等式．7．如图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状围成一个正方形．（1）图②中的阴影部分面积为　　；（2）观察图②，请你写出三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是　　．（3）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图③，它表示了　　．（4）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．（在图中标出相应的长度）8．如图所示，图1是一个长为2x，宽为2y的长方形，沿图中虚线剪成四个完全相同的小长方形，再按图2围成一个正方形．（1）请用两种方法计算图2中中间小正方形的面积；（2）比较（1）的两种结果，你能得到怎样的等量关系？9．如图（1），将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图（2）形状拼成一个正方形．（1）图（2）中的空白部分的边长是多少？（用含a，b的式子表示）（2）观察图（2），用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系；（3）若2a+b=7，ab=3，求图（2）中的空白正方形的面积．10．（1）先化简，再求值：（a+b﹣3）（a﹣b﹣3）+（4ab3﹣8a2b2）÷4ab，其中a=2，b=1．（2）解方程：（3x+1）（2x2﹣2x+1）﹣2x2（3x﹣2）=0．11．观察以下等式：（x+1）（x2﹣x+1）=x3+1（x+3）（x2﹣3x+9）=x3+27（x+6）（x2﹣6x+36）=x3+216…（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（　　）=a3+b3（2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立．（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）12．基本事实：若am=an（a＞0，且a≠1，m、n都是正整数），则m=n．试利用上述基本事实解决下面的两个问题吗？试试看，相信你一定行！①如果2×8x×16x=222，求x的值； ②如果2x+2+2x+1=24，求x的值．13．（1）对于算式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（