高职数学教程电子教案4.3 数图象的描绘.pptVIP

4.3 函数图象的描绘 4.3.2 曲线的渐近线 4.3.3 函数图象的作法 * * 4.3.1 凹凸性和拐点 若函数 在开区间 内可导，如果曲 线 上每一点处的切线都位于该曲线的下 方（或上方）， 则称曲线 在区间 内是凹（或凸）的（图4.3.1）; 曲线 上 凹凸的分界点，称为曲线 的拐点. 图4.3.1 凹凸的判断法：设函数 在开区间 内二阶 导数存在， 在 内 (1)若 则曲线 在 内是凹的； (2)若 则曲线 在 内是凸的。 求函数曲线的凹凸区间与拐点的一般步骤 (1) 确定函数的定义域； (2) 求出 找出使 的点和使 不存在的点； (3) 用这些点把定义域划分为若干小区间，列表判定在这些小区间内 的符号； (4)写出函数 的凹凸区间与拐点. 注：驻点、极值点和最值点是指横坐标；拐点是指横、纵坐标。 例4.3.1 求曲线 的凹凸区间和拐点. 解 令 得 列表： ? 从表中可得，在区间 内，曲线 是凸的；在区间 内，曲线 是凹的；拐点是 （1）若 ，则函数 有水平渐近线 例如 （下图）因为 所以 都是曲线 的 水平渐近线. 记忆辩别“ 无限， 有限，水平渐近线” 1.5 1 0.5 -1.5 -1 -0.5 -15 -10 -5 15 10 5 （2）若 ,则函数 有垂直渐近线 例如 因为 所以 是曲线 的垂直渐近线. 记忆辩别“ 有限， 无限，垂直渐近线”. *（3）设斜渐近线为 ，则 例4.3.2 求曲线 的渐近线. 解 显然曲线 无水平和垂直渐近线. 所以，曲线的斜渐近线是 函数作图分六个步骤： (1)确定函数的定义域和奇偶性； (2)求导，求出驻点和拐点以及使 和 不存在的点； (3)用所求点把定义域分成若干小区间，列表确定单调区间与极值点； (4)求出渐近线； (5)求与坐标轴的交点和作辅助点； (6)根据以上步骤作图. 例4.3.3 作函数 的图像. 解: (1)函数的定义域为 (2) 令 得 令 得 (3)列表讨论如下： ↘ 间断 ↗ 极小值-3 ↘ ↘ + 不存在 + + + 0 － － 不存在 + 0 － / － 0 -2 -3 拐点 （4）因为 所以直线 是曲线的垂直渐近线； 又 所以直线 是曲线的 水平渐近线； （5） 取辅助点： 综合上述讨论，作出函数的图像. *