2009届全国名校高三模拟试题汇编——立体几何解答题.docVIP

2009届全国名校高三数学模拟试题分类汇编 立体几何 三、解答题 1、(四川省成都市2009届高三入学摸底测试)如图，在四棱锥中，底面为正方形，且平面，，、分别是、的中点． （Ⅰ）证明：EF∥平面PCD； （Ⅱ）求二面角B－－的中点为，连接， 易证：且∥ 于是，EF∥MD，而MD(平面PCD 所以EF∥平面PCD （Ⅱ）以点为原点，建系， 易求得(1,1,0)、(，，)、(0，1，0)、(，0，0)， 从而分别求出平面和平面的法向量、 从而算出二面角大小为． 2、(湖北省武汉市教科院2009届高三第一次调考)如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，，直线B1C与平面ABC成30°角。 （1）求证：平面B1AC⊥平面ABB1A1； （2）（文科）求二面角B—B1C—A的正切值； （3）（理科）求直线A1C与平面B1AC所成的角的正弦值。 解：（1）三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱 底面ABC 又AC面ABC AC 又 又AC面B1AC …………（6分） （2）三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱 底面ABC 为直线B1C与平面ABC所成的角，即 过点A作AM⊥BC于M，过M作MN⊥B1C于N，加结AN。 ∴平面BB1CC1⊥平面ABC ∴AM⊥平面BB1C1C 由三垂线定理知AN⊥B1C从而∠ANM为二面角B—B1C—A的平面角。 设AB=BB1= 在Rt△B1BC中，BC=BB1 在Rt△BAC中，由勾股定理知 又 在Rt△AMC中， 在Rt△MNC中， 在Rt△AMN中， 即二面角B—B1C—A的正切值为 …………（文12分） （3）（理科）过点A1作A1H⊥平面B1AC于H，连结HC，则 ∠A1CH为直线A1C与平面B1AC所成的角 由知 　　在Rt………………（理12分） 3、如图，在四棱锥中，底面是矩形已知． （1）证明：平面； （2）求异面直线PC与AD所成的角的大小； （3）求二面角的大小． 18．解： （1） …4分 （2）ADBC∠PCB（或其补角）为异面直线PC与AD所成角 ……………………………………8分 （3）作 为二面角的平面角…………………………10分 …………………………………………12分 、如图，在△中，，为的中点，沿将△折起到△的位置，使得直线与平面成角 (1)若点到直线的距离为，求二面角的大小； ()若，求边的长解：(I)由已知，OC⊥OB，OC⊥OA′从而平面A′OB⊥平面ABC. 过点A′作A′D⊥AB，垂足为D，则A′D⊥平面ABC，……………………(2分) ∴∠A′ED＝30°，又A′O＝BO＝1，∴∠A′OD＝60°， 从而A′D＝A′Osin60°＝.……………………………………………………(4分) 过点D作DE⊥BC，垂足为E，连结A′E，据三垂线定理，A′E⊥BC. ∴∠A′ED为二面角A′—BC—A的平面角.……………………………………(5分) 由已知，A′E＝1，在Rt△A′DE中 ∴∠A′ED＝60°故二面角A′—BC—A的大小为60°.…………………………(分) (II)设BC＝，∠A′CB＝θ，则A′C＝，∠OCB＝π－θ. 在Rt△BOC中，…………(分) 在△A′DB中，A′B＝ 在△A′BC中，A′B2＝A′C2＋BC2－2A′C·BC …………(1分) ………………………(1分) 5、、的正方形中，点是的中点，点是的中点，将△AED,△DCF分别沿折起，使两点重合于. （1） 求证:； （2） 求二面角的正切值. （1）证明：∵,…………2分 ∴,…………3分 ∴,而 ∴…………5分 （2）解：取的中点，连，,如图 ∵∴∴…………7分 又由（1）知， ∴, ∴为二面角的平面角………9分 在中，, ∴,∴…………10分 又 在中， 即二面角的正切值为.…………12分 7、中，，， 为的中点. （1）求证： //平面； （2）求证：⊥平面； （3）设是上一点，试确定的位置，使平面⊥平面，并说明理由. （1）证明：如图