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顾及垂线偏差影响大地水准面形状因子拟合方法 　　摘要 大地水准面形状由大地水准面差距（简称差距）和垂线偏差两方面的因素共同决定，在拟合以及精化局部大地水准面形状时要将两者统一考虑在内。本文首先研究了大地水准面形状的几何特征，并引入“大地水准面形状因子”的概念，构造了大地水准面形状因子函数及其微分方程，通过解微分方程，得到了由大地水准面形状因子表示的大地水准面模型。理论研究表明：通过拟合大地水准面形状因子所得到的大地水准面模型能够充分的考虑“差距”和“垂线偏差”两方面的形状因素。最后本文将大地水准面形状因子在三围空间的推广做了初步研究。 　　关键词 大地水准面；大地水准面形状因子；拟合；特征点；垂线偏差 　　中图分类号：F204文献标识码： A 　　 　　1 引言 　　大地水准面对于大地测量学、海洋测量学和固体地球物理学有着根本的重要性，在大地测量学和海洋学中，大地水准面用作描绘陆地和海面地形的高程参考面，cm级精度大地水准面的确定仍然是本世纪大地水准面研究的目标[1]。但是，大地水准面是个不规则的曲面，因为地球表面起伏不平，内部质量分布不均，使得地面各点所受的吸引力大小和方向各不相同，从而引起地面各点铅垂线方向发生不规则变化。于是，处处与铅垂线正交的大地水准面也就随之成为起伏的不规则曲面[2]。所以大地水准面是个物理曲面，而非数学曲面，这无疑增加了要提高大地水准面的确定精度，要深入研究其形状特征的必要性。同时，大地水准面的形状是由“差距”和垂线偏差两方面共同来描述的，因此在拟合大地水准面时，就不能仅依靠“差距”信息而忽视垂线偏差的影响，或许在平原地区垂线偏差的影响并不显著，但是在局部特殊地区，如高原、山区等地质构造复杂地区，在拟合时就不能不考虑垂线偏差的影响。另外，在某些高精度的工程测量或大地测量中（即使在平原地区），要求局部大地水准面的数学方程必须确定的足够精确，这时就必须考虑垂线偏差的微小变化对大地水准面造成的影响。如何将垂线偏差考虑在内，提高局部大地水准面的拟合精度？本文在理论上做了一些探索，给出了一种考虑垂线偏差影响下，提高大地水准面拟合精度的方法。注：具体数据处理将在后续工作中进一步研究。 　　2 大地水准面形状特征及其形状因子 　　在拟合局部大地水准面时，不管采用那种方法拟合，比如曲面内插法、多面函数法、多项式拟合法、移动曲面法等等，结点的选取是个关键的问题；尤其是某些特征点，在拟合中起着重要作用，它们甚至直接决定拟合的精度[4]。例如：多面函数拟合法中就明确指出，已测点结点的选取原则必须是在该测区中具有代表性的特征点，而且是观测量的高精度点。 　　要研究大地水准面的特征点就要研究大地水准面形状的几何特征。在局部范围内可将大地水准面视为光滑的曲面，因此它可以看成是由有限个形状要素组成。各个形状要素由于其在大地水准面上的位置不同而具有不同的形状信息。总体上，大地水准面的形状要素可以分为两类：一类是具有特征信息的形状要素，即特征点，甚至某些特征线（三维空间）；另一类是一般要素，例如：一些随机点等。 　　特征点也就是大地水准面的局部极值点，如顶点、谷点等，在山区这些点会表现的更加明显。这些点不仅能表现出自己的“差距”的有关信息，也能够给予它周围更多的大地水准面形状信息，因而它们具有更多的形状信息内容。如图1，以二维平面为例，从数学角度分析：A、B为极值点，称其为显著特征点；C为拐点，即“二阶导数”为零的点。 　　 　　图.1 　　Fig.1 　　为了便于在理论上研究这些点，本文引入大地水准面形状因子的概念。 　　大地水准面形状因子：指描述大地水准面的几何形状特征并且能在大地水准面各点有直接计算的参数或指标。大地测量学将“差距”和垂线偏差视为是对大地水准面形状的描述，这两个量缺一不可，要将两者结合起来才能完整的描述某一点处的大地水准面形状信息。 　　如图（2）（=1,2,3…）为某局域大地水准面上的一点，为该点的大地水准面差距；为该点的垂线偏差；表示大地水准面形状因子，它是表征某点大地水准面形状特征的量。通过以上分析， 与,之间必然存在某种数学关系，不妨假定与,间的函数关系式为：=;其中“”为某种数学对应法则。同时，考虑到在某个局部范围内，大地水准面和参考椭球面的关系如图2所示： 　　 　　图.2 　　Fig.2 　　假设该区的大地水准面起伏较大，且大地水准面足够光滑。图2中，（=1,2,3…）为大地水准面上任一点，，为参考椭球面上的两点；且为点沿点的参考椭球面法线方向，为点沿该点的铅垂线方向（铅垂线方向与该点的大地水准面切线方向正交）。由于铅垂线垂直于该点的大地水准面，因此直线垂直于沿点的大地水准面切线，图中角度即为点处的垂线偏差。由以上分析可得到：=，∠= 　　在直角三角形中