2017年---2017“北约”、“华约”自主招生数学试题.docVIP

2011年“北约”13校联考自主招生数学试题 2012年北约自主招生数学试题 1、求的取值范围使得是增函数； 2、求的实数根的个数； 3、已知的4个根组成首项为的等差数列，求； 4、如果锐角的外接圆的圆心为，求到三角形三边的距离之比； 5、已知点，若点是圆上的动点，求面积的最小值。 6、在中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？ 7、求使得在有唯一解的； 8、求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形； 9、求证：对于任意的正整数，必可表示成的形式，其中 2012年自主招生北约联考数学试题解答 2013年北约自主招生数学试题解析 1．以和为两根的有理系数多项式的次数最小是多少？ 解析：显然，多项式的系数均为有理数，且有两根分别为和.于是知，以和为两根的有理系数多项式的次数的最小可能值不大于5. 若存在一个次数不超过4的有理系数多项式，其两根分别为和，其中不全为0，则： 即方程组：，有非0有理数解. 由（1）+（3）得： （6） 由（6）+（2）得： （7） 由（6）+（4）得： （8） 由（7）（5）得：，代入（7）、（8）得：，代入（1）、（2）知：.于是知，与不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式，其两根分别为和. 综上所述知，以和为两根的有理系数多项式的次数最小为5. 2．在的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？ 解析：先从6行中选取3行停放红色车，有种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置有3！=6种选择。所以共有种停放汽车的方法. 3．已知，求的值. 解析：根据条件知： 由两式相减得故或 ①若则，解得.于是知或. 当时， . 当时 . （2）若，则根据条件知：，于是， 进而知. 于是知：. 综上所述知，的值为或. 4．如图，中，为边上中线，分别的角平分线，试比较与的大小关系，并说明理由. 解析：如图，延长到，使得，连接.易知，所以.又因为分别为的角平分线，所以，知为线段的垂直平分线，所以.所以. 5．数列满足，前项和为，求. 解析：根据条件知：.又根据条件知：. 所以数列. 又.令， 则，所以.即. 对，两边同除以，有，即.令，则，，于是知.所以.于是知：. 6．模长为1的复数，满足，求的模长. 解析：根据公式知，.于是知： . 所以的模长为1. 7．最多能取多少个两两不等的正整数，使得其中任意三个数之和都为素数. 解析：所有正整数按取模3可分为三类：型、型、型. 首先，我们可以证明，所取的数最多只能取到两类.否则，若三类数都有取到，设所取型数为，型数为，型数为， 则，不可能为素数.所以三类数中，最多能取到两类. 其次，我们容易知道，每类数最多只能取两个.否则，若某一类型的数至少取到三个，设其中三个分别为， 则，不可能为素数.所以每类数最多只能取两个. 结合上述两条，我们知道最多只能取个数，才有可能满足题设条件. 另一方面，设所取的四个数为1、7、5、11，即满足题设条件. 综上所述，若要满足题设条件，最多能取四个两两不同的正整数. 8．已知，满足，且，求证：. 解析：根据条件知: ，（1） 另一方面，令，则中每个数或为，或为.设其中有个，个，则： （2） 由（1）、（2）知： （3） 而为奇数，不可能为0，所以.于是知： . 从而知：，即得.同理可知：.命题得证. 9．对任意的，求的值. 解析：根据二倍角和三倍角公式知： . 10．已知有个实数，排列成阶数阵，记作，使得数阵中的每一行从左到右都是递增的，即对任意的，当时，都有.现将的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的阶数阵，记作，即对任意的，当时，都有.试判断中每一行的个数的大小关系，并说明理由. 解析：数阵中每一行的个数从左到右都是递增的，理由如下： 显然，我们要证数阵中每一行的个数从左到右都是递增的，我们只需证明，对于任意，都有，其中. 若存在一组.令，其中，.则当时，都有.也即在中，至少有个数小于，也即在数阵的第列中，至少排在第行，与排在第行矛盾. 所以对于任意，都有，即数阵中每一行的个数从左到右都是递增的. ?2011年高水平大学自主选拔学业能力测试（华约） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本