第讲自主招生数学试题中的函数方程.docVIP

第二十二讲:函数方程 1 第二十二讲:自主招生数学试题中的函数方程 杨老师专论 （电话号码：2078159；手机号码 含有未知函数的等式称为函数方程;有关函数方程方面的 题目大致可分为三类:①求函数值;②研究函数性质;③求函数表达式.本讲专注于最后一个问题,这是函数方程的根本问题. Ⅰ.知识拓展 柯西方程:定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),则:f(x)=f(1)x. 证明:由f(x+y)=f(x)+f(y)容易推得(用数学归纳法):f(nx)=nf(x)(n∈N+),令x=(m∈N+),则nf()=f(n)=f(m) =f(m1)=mf(1)f()=f(1);令x=y=0得:f(0)=f(0)+f(0)f(0)=0f(x)+f(-x)=0f(-)=-f()=f(1)(- )对任何有理数x,f(x)=f(1)x; 现在来讨论自变量是无理数ξ的情形.首先证明:f(x)在R上单调,①若k=f(1)0,由f(x+y)=f(x)+f(y)k=f(1)= f(n)=nf()0f()0f()=nf()0f(x)0f(x)-f(y)=f(x-y)0f(x)在R上单调递增;②同理可证:若k=f(1)0,则f(x)在R上单调递减. 不妨设f(x)是单调增加的,单调递增的有理数列{xn}和单调递减的有理数列{yn}满足xnξyn,且xn=yn=ξ,则由xnξynf(xn)f(ξ)f(yn)f(1)xnf(ξ)f(1)yn[f(1)xn]≤f(ξ)≤[f(1)yn]f(1)ξ≤f(ξ)≤f(1)ξf(ξ)=f(1)ξ.综上,对于任何实数x,f(x)=f(1)x. 推论:如果f(x)不恒为0.①若f(x+y)=f(x)f(y),则f(x)=ax;②若f(xy)=f(x)+f(y),则f(x)=loga|x|;③若f(xy)=f(x) f(y)(x,y0),则f(x)=xn;④若f(x+y)=,则f(x)=;⑤若x、y0,且f(x)≥0,f(x+y)=f(x)+f(y)+2,则f(x)=ax2(a0);⑥若x、y0,且f(x)≥0,f2(x+y)=f2(x)+f2(y),则f(x)=a(a0);⑦若f(x)≥0,且f2(x+y)+f2(x-y)= 2[f2(x)+f2(y)],则f(x)=a|x|(a0);⑧若f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy,则f(x)=ax2+bx;⑨若f(x+y)+f(x-y)=2f(x),则f(x)=ax +b;⑩若f()=,则f(x)=ax+b. Ⅱ.归类分析 1.换元法: [例1]:(2004年日本数学奥林匹克试题)求函数f(x),使得:f(x)+f()=,x∈R,x≠0,1. [解析]: [练习1]: 1.①(1998年希望杯高二试题)若函数f(x)满足条件f(x)-4f()=x,则|f(x)|的最小值是 . ②(2005年江西省初赛试题)设f(x)适合等式f(x)-2f()=x,则f(x)的值域是 . 2 第二十二讲:函数方程 ③(2005年浙江省初赛试题)设函数2f(x)+x2f()=,则f(x)= . ④(2005年福建高一数学竞赛试题)函数f(x)的定义域为(0,+∞),并且对任意正实数x,都有f(x)+2f()=3x,则f(2)= . ⑤(2004年江西省高中女子数学竞赛试题)若f()=f(x)+2,则f(3)= . ⑥(1993年第届俄罗斯数学奥林匹克试题)对于一切x≠1,函数f(x)有定义并且满足关系:(x-1)f()-f(x)=x.求所有这样的函数. 2.①(2009年安徽高考试题)己知函数f(x)在R上满足:f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程 是( ) (A)y=2x-1 (B)y=x (C)y=3x-2 (D)y=-2x+3 ②(2006年泰国数学奥林匹克试题)设函数f:R→R,对任意x∈R,都有f(x2+x+3)+2f(x2-3x+5)=6x2-10x+17.求f(85). ③(2004年全国高中数学联赛试题)设函数f:R→R满足:f(0)=1