x届高三数学一轮复习基础导航导数在研究函数中的应用.docVIP

4.2导数在研究函数中的应用 【考纲要求】 1、导数在研究函数中的应用 　　① 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. 　　② 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 　　2、生活中的优化问题. 　　会利用导数解决某些实际问题.. 【基础知识】 1、用导数研究函数的单调性 （1）用导数证明函数的单调性 证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内（）0 （2）用导数求函数的单调区间 求函数的定义域→求导→解不等式＞0得解集→求,得函数的单调递增（减）区间。 一般地，函数在某个区间可导 ，＞0 在这个区间是增函数 一般地，函数在某个区间可导 ，＜0 在这个区间是减函数 （3）单调性的应用 一般地，函数在某个区间可导，在这个区间是增(减)函数 ≥ 温馨提示：①求函数的单调区间，必须优先考虑函数的定义域，然后解不等式＞ （＜)0（不要带等号），最后求二者的交集，把它写成区间。 ②已知函数的增（减）区间，应得到≥（≤）0，必须要带上等号。 ③求函数的单调增（减）区间，要解不等式＞0，此处不能带上等号。 ④单调区间一定要写成区间，不能写成集合或不等式；单调区间一般都写成开区间， 不要写成闭区间；如果一种区间有多个，中间不能用“”连接。 2、求函数的极值 （1）设函数在及其附近有定义，如果的值比附近所有各点的值都大（小），则称是函数的一个极大（小）值。 （2）求函数的极值的一般步骤 先求定义域,再求导，再解方程（注意和求交集），最后列表确定极值。 一般地，函数在点连续时，如果附近左侧0，右侧0，那么 是极大值。一般地，函数在点连续时，如果附近左侧0，右侧0，那么是极小值。 （3）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内??大或最小。 （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 (5)一般地，连续函数在点处有极值 是=0的充分非必要条件。 （6）求函数的极值一定要列表。 3、用导数求函数的最值 （1）设是定义在闭区间上的函数，在内有导数，可以这样求最值： ①求出函数在内的可能极值点（即方程在内的根）； ②比较函数值，与，其中最大的一个为最大值，最 小的一个为最小值. （2）如果是开区间，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值。 【例题精讲】 例1 已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3＋ax2－bx(a，b∈R)．若y＝f(x)图象上的点(1，－eq \f(11,3))处的切线斜率为－4，求y＝f(x)的极大值． 解：(1)∵f′(x)＝x2＋2ax－b， ∴由题意可知：f′(1)＝－4且f(1)＝－eq \f(11,3)， 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＋2a－b＝－4，,\f(1,3)＋a－b＝－\f(11,3)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝3.)) ∴f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2－3x，f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)． 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3. 由此可知，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗ ∴当x＝－1时，f(x)取极大值eq \f(5,3). 例2 已知函数f(x)＝xlnx. (1)求f(x)的最小值； (2)讨论关于x的方程f(x)－m＝0(m∈R)的解的个数． 解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)＝0，得x＝eq \f(1,e). 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)，f(x)的变化情况如下： xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))eq \f(1,e)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))f′(x)－0＋f(x)↘极小值↗ 所以，f(x)在(0，＋∞)上最小值是feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\a