小学奥数常规几何模型.docVIP

小学奥数中的几何模型 ——等积，鸟头，蝶形，相似，共边 知识点拨 一、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图 ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图； 反之，如果，则可知直线平行于． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在中，分别是上的点如图 ⑴(或在的延长线上，在上)， 则 图⑴ 图⑵ 三、蝶形定理 任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： ①或者② 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ① ②； ③的对应份数为． 四、相似模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ①； ②． 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型） 在三角形中，，，相交于同一点，那么． 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为和的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题 如图，正方形ABCD的边长为6，5，2长方形EFGH的面积为 【巩固】如图所示，正方形的边长为厘米，长方形的长为厘米，那么长方形的宽为几厘米？ 长方形的面积为36，、、为各边中点，为边上任意一？ ． 【巩固】在边长为6厘米的正方形内任取一点，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与点连接,求部分面积． 如图所示，长方形内的阴影部分的面积之和为70，，，四边形的面积为 ． 【巩固】如图，长方形的面积是36，是的三等分点，，则阴影部分的面积为 ． 已知为等边三角形，面积为400，、、分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形) 如图，已知，，，，线段将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形的面积是． 如图在中，分别是上的点，且，，平方厘米，求的面积． 【巩固】如图，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面积等于1，那么三角形的面积是多少？ 【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，，，，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ 如图在中，在的延长线上，在上，且， ，平方厘米，求的面积． 如图，平行四边形，，，，，平行四边形的面积是， 求平行四边形与四边形的面积比． 如图所示的四边形的面积等于多少？ 如图所示，中，，，，以为一边向外作正方形，中心为，求的面积． 如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形，，、交于．已知、的长分别为、，求三角形的面积． 如下图，六边形中，，，，且有平行于，平行于，平行于，对角线垂直于，已知厘米，厘米，请问六边形的面积是多少平方厘米？ 如图，三角形的面积是，是的中点，点在上，且，与交于点．则四边形的面积等于 ． 【巩固】如图，长方形的面积是平方厘米，，是的中点．阴影部分的面