03-04-2-高数1期末-A.docVIP

2003 至 2004 A卷 一、（7分）设可导，求。 （3分） （6分） （10分） 二、（7分）计算二重积分 其中D是由双曲线，直线y = x及 x = 2 所围成的区域。 三、（7分）求函数的极值。 由，得驻点 4分 8分 函数在点处取极小值。 10分 四、（7分）试证：级数是发散的。 考虑通项，当时 （6分） 故而 所以级数分散。 （ 五、（7分）求微分方程的通解。 解：原方程化为 即 通解为： （10分） 另解：方程改变为线性微分方程 （2分） 故通解为 六、（7分）设Ω是由,以及 所确定的有界闭区域。试计算. 八、（7分）讨论：函数在点（0，0）处是否可微？ 不存在 （5分） 不存在，故函数在点（0，0）处不可微。 七、（7分）利用极坐标计算二重积分 其中 九、（7分）设L为光滑的简单闭曲线，并取顺时针方向，证明L所围区域D的面积 十、（7分）求的值，式中L是由A(1，0)沿曲线到B(，0)的弧段。 十一、（7分）在椭圆抛物面上求一点，使曲面在该点处的切平面垂直于直线，并写出曲面在该点处的法线方程。 曲面上点处的切平面法向量 3分 平行于直线的方向向量 代入曲面方程，得 点 法线方程 十二、（9分）求微分方程的通解。 特征方程的根为： 对应的齐次方程的通解为 （4分） 设特解为，代入方程得 （8分） 故所求通解为 （10分） 十三、（7分）试求幂级数的收敛域。 因为 ， ((5分 所以 。收敛域为 ((10分 十四、（7分）若幂级数，当x = 0时，级数收敛； 当 x = 2b时，级数发散。试指出级数的收敛半径，并证明。 令t=x-b，由题中条件知级数在或上收敛。 而且当|x||b|时，级数发散， ……8分 故原级数的收敛半径是|b|。 ……10分 1 2003 至 2004 A卷