高中数学解析几何椭圆性质与定义.docVIP

椭圆的性质及应用 一、圆锥曲线 圆锥与平面的截线通常有：圆、椭圆、双曲线、抛物线，其中的椭圆、双曲线、抛物线叫圆锥曲线，其中抛物线是圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线，双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线，圆是圆锥面与垂直于轴的平面相截而得的曲线，其他平面截取的则为椭圆。 圆锥曲线有一个共同的定义：即：圆锥曲线是到定点距离与到定直线间距离之比为常值的点之轨迹。 二、椭圆的定义 椭圆是平面上到两定点的距离之和为常值的点之轨迹，也可定义为到定点距离与到定直线间距离之比为一个小于1常值的点之轨迹。 椭圆的第一定义：平面内与两定点F、F的距离的和等于常数2a (2a|FF|)的动点P的轨迹叫做椭圆。即：│PF│+│PF│=2a ，其中两定点F、F叫做椭圆的焦点，两焦点的距离│FF│叫做椭圆的焦距。若2a=|FF|，为线段，若2a|FF|，不存在。 下面确定椭圆的方程 现设P的坐标为（x,y），F的坐标为（C,0） 整理可得： 定义： 则椭圆的方程可表示为： 椭圆在方程上可以写为标准式，(ab0)，这样的椭圆长轴在x轴上，焦点在X轴时，若，(ab0)，这样的椭圆长轴在y轴上。焦点在y轴时。 有两条线段，a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长，当ab时，焦点在x轴上，焦距为，焦距与长、短半轴的关系: 椭圆的第二定义 由椭圆的第一定义：可到椭圆方程为： 将代入，可得： 所以： 由此可得： 所以可得椭圆的第二个定义： 平面上到定点F距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数）,其中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是）。常数e 注意：准线和焦点对应，左准线对应左焦点，右准线对应右焦点 下面我们介绍第二定义的几何说明： 可以找到两个球，它们均满足：和圆锥相切于一个圆，与截面相切于一个点。一个在截面和圆锥顶角之间（即截得的圆锥体的内切球），另一个在截面与圆锥顶角侧（即圆锥体外切球）。两个球与截面相切的两个点即是两个焦点，两个球与圆锥相切的两个圆，那两个圆所在的两个平面（它们是平行的）分别与原来的截面的交线即是两条准线。通过三角函数的知识应该可以证明截得的图形上的点到焦点和到相应准线的比值为定值）可以得出：平面内与两定点的连线的斜率之积是常数k的动点的轨迹是椭圆，此时k应满足一定的条件，也就是排除斜率不存在的情况。 三、.圆锥曲线的几何性质： 1.椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ ， y=bsinθ ，且，则的最大值是____，的最小值是___（答：） 　　2. 标准形式为的椭圆在（x0，y0）点的切线为 ： 　　3.椭圆焦半径公式 ｜PF1｜=a+ex0 ｜PF2｜=a-ex0 　 4.直线与椭圆位置关系 　（1）弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝， 　（2）直线l：y=x+1与椭圆交于A，B两点，P为椭圆上一点，求△PAB面积的最大值. （3）相切、相交、相离的条件 6．直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交：直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。 5．范围 即|x|a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形里(图2-18)．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点． 6．对称性 x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心． 7．顶点 只须令x=0y=±b，点B1(0，-b)、B2(0，b)是椭圆和y轴的两个交点；令y=0，得x=±a，点A1(-a，0)、A2(a，0)是椭圆和x轴的两个交点．强调指出：椭圆有四个顶点A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)． 8．离心率 教师直接给出椭圆的离心率的定义： 再讲清离心率e∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1． 再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响： (2)e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆； (3)当e=0时，c=0，a=b两焦点重合，椭圆图形就是圆了． 课堂练习： 1．已知 是椭圆 上一点，若 到椭圆右准线的距离是 ，则 到左焦点的距离为_______． 2．若椭圆 的离心率为 ，则它的长半轴长是___________． 答案：1． ???? 2．1或2?? 3．求下列椭圆的长轴和短轴的长、