16.2Fourier级数收敛法.pptVIP

* §16.2 Fourier级数的收敛判别法 1、问题提出 在§16.1中，通过例题和计算实习，直观感觉到Fourier级数的确比Taylor级数有更广泛的应用范围。但其中的两个基本假定仍悬而未决！因此自Fourier级数诞生以后，解决两个基本假定，世界上许多优秀的数学家一直在苦苦地探索。 在Fourier级数问世约四分之一世纪，Dirichlet在1829年首先获得第一个结果；接着Reimann、Lipschitz、Dini相继不断的完善与扩展。 本节主要完成第一个基本假定，即Fourier级数的收敛性问题。 在数项级数和函数项级数中，讨论其收敛性，必然分析其部分和，当然最好能把部分和的表达式求出来。 研究Fourier级数的收敛性仍是如此。 设 f(x)以2?为周期，其 Fourier级数为 它的部分和为 2、 Fourier级数部分和分析——Dirichlet积分 把f(x)的 Fourier系数代入Sn (x)，则 其中，当? ?0，利用 当? =0，按? ?0时的极限定义其数值。 再进一步 这个积分称为Dirichlet积分。它的常用形式是 由于 故 若f(x)的Fourier级数收敛于? (x)，就有 也就是对Sn(x)?? (x)进行估计。另一方面 转化为验证条件C2： 于是，判定f(x)的Fourier级数收敛于? (x)，将验证条件C1： 记 若??(x,u)关于u在[0,?]上可积或绝对可积，则f(x)的Fourier级数收敛于? (x)转化为验证条件： 它的更一般的情况，即下一段的Riemann引理。 定理16.2.1(Riemann引理) 设? (t)在[a,b]上可积或绝对可积，则 3、 Riemann引理 证明 (1) ? (t)在[a,b]上可积的情况。由? (t)可积，故对??0，存在[a,b]的分法： a=t0t1t2…tn?1 tn=b 其中?i是 ? (t)在[ti?1 , ti]上的振幅，mi是? (t)在[ti?1 , ti]上的下确界。 使得 对上取定的分法， 于是 是一个确定的数，故 存在P 0，使得当pP时，恒有 和尚，则 (2) ? (t)在[a,b]上绝对可积的情况。不妨设a为瑕点，故对??0，存在? 0，使得 再由(1) 对上??0，存在P 0，当pP时，恒有 于是 推论16.2.1(Riemann引理) 设? (t)在[a,b]上可积或绝对可积，则 综上 推论16.2.2 设? (t)在[0,?]上可积或绝对可积，则 即等式两边同时收敛，或同时发散；收敛时，极限相等。 证明 因 所以 g(t)在[0,?]上可积，故 因而推论成立。 4、 Fourier级数的收敛判别法 在本节第3段和第四段中，把判定f(x)的Fourier级数收敛于? (x)，验证条件C1： 通过分析Sn(x)的表达式，转化为验证条件C2： 根据Riemann引理和推论16.2.2，再将条件C2转化为验证条件C3： 所以，只需考虑 在u=0右邻域的情况。即在[0 , ?]上关于u可积或绝对可积——这个条件称为Dini条件。 以下讨论如何实现Dini条件。为此，最容易想到的最弱条件是极限 存在！此时，必有 否则，??(x,u)在[0 , ?]上关于u不绝对可积。 由于u?0+，所以x + u x ? u；因此，要使上面极限存在，根据所掌握的知识，只有以下三种情况： 1) 函数f(t)在x的邻域内单调有界； 2) 函数f(t)在x处连续； 3) 函数f(t)在x处左右极限存在，即x是f(t)的第一类不连续点。 另外，欲使 存在，就是要求下面极限存在。 无论是以上哪一种情况成立，都有 立得 这样一来，得到了及其重要的结论： 若f(x)的Fourier级数收敛，则它的和函数为 再由 为了在第一种情况(即f(t)在x的邻域内单调有界)下，验证f(x) 的Fourier级数收敛条件C3： 因f(t)在x的邻域内单调有界，故 与 有相同的判定条件。 它们的一般情况，就是Dirichlet引理。 定理16.2.2(Dirichlet引理) 设?(u)在[0,? ]上单调，则 证 不妨设?(u)在[0,? ]上单调增，则对??0, ?? ? 0;当?