2017学年高中数学人教A版修4教材习题点拨：3.2简单的三角恒等变换Word版含解析.docVIP

教材习题点拨 练习 1．证明：tan＝＝ ＝， tan＝＝ ＝. 2．证明：(1)∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β， ∴sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cos αsin β. 两边同除以2， 得cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]． (2)(3)同理可得． 3．证明：(1)在cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]中， 令α＋β＝θ，α－β＝φ， 从而α＝，β＝. 将上述值代入公式， 即有cossin＝ ＝(sin θ－sin φ)， ∴sin θ－sin φ＝2cossin. (2)(3)同理可得． 4．解：(1)最小正周期是，单调递增区间是，k∈Z，最大值是； (2)最小正周期是2π，单调递增区间是[2kπ＋π，2kπ＋2π]，k∈Z，最大值是3； (3)最小正周期是，单调递增区间是，k∈Z，最大值是2. 习题3.2 A组 1．证明：(1)∵左边＝sin22α－2sin 2αcos 2α＋cos22α＝1－2sin 2αcos 2α＝1－sin 4α＝右边， ∴原题得证． (2)∵左边＝－ ＝ ＝ ＝－＝右边， ∴原题得证． (3)∵左边 ＝tan ＝tan x ＝tan x[1－(－1)] ＝2tan x＝右边， ∴原题得证． (4)∵左边＝ ＝sin φ＋cos φ＝右边， ∴原题得证． (5)∵左边 ＝ ＝ ＝ ＝＝右边， ∴原题得证． (6)∵左边＝2cos2θ＋2sin2θ＝2＝右边， ∴原题得证． (7)∵左边＝＝tan2θ＝右边， ∴原题得证． (8)∵左边＝ ＝ ＝＝ ＝tan θ＝右边， ∴原题得证． 2．证明：(1)由sin(α＋β)＝， 得sin αcos β＋cos αsin β＝.① 又由sin(α－β)＝， 得sin αcos β－cos αsin β＝.② 由①＋②，得2sin αcos β＝. ∴sin αcos β＝. 由①－②，得2cos αsin β＝. ∴cos αsin β＝. ∴sin αcos β＝5cos αsin β. (2)由(1)可知，sin αcos β＝5cos αsin β， 故＝， 即tan α＝5tan β. 3．证明：∵＝1， ∴1－tan θ＝2＋tan θ，得tan θ＝－. 由tan 2θ＝ ＝＝＝－. －4tan＝－4× ＝－4×＝－4×＝－， ∴tan 2θ＝－4tan. 4．证明：x＋y＝ ＝sin θ＋cos θ.① x－y＝ ＝sin θ－cos θ.② 由∵①＋②，得2x＝2sin θ， ∴x＝sin θ. 又∵由①－②，得2y＝2cos θ， ∴y＝cos θ. ∴x2＋y2＝sin2θ＋cos2θ＝1. 5．解：函数的最小正周期是T＝，递减区间为(k∈Z)． B组 1．证明：(1)∵左边＝2＋2cos22α－4cos 2α ＝2(cos22α－2cos 2α＋1) ＝2(1－cos 2α)2＝2·(2sin2α)2 ＝8sin4α＝右边， ∴原题得证． (2)∵左边＝－cos 2α ＝－cos 2α ＝－cos 2α ＝－cos 2α ＝－cos 2α ＝sin 2α－cos 2α ＝2sin＝右边， ∴原题得证． 2．解：sin 76°＝sin (90°－14°) ＝cos 14°＝m. ∴2cos27°－1＝m， ∴cos27°＝. ∵cos 7°0， ∴cos 7°＝. 3．解：假设存在锐角α，β，使α＋2β＝，tantan β＝2－同时成立， 则＋β＝. 从而有tan＝ ＝＝ ＝tan＝. ∴tan＋tan β＝3－. 由 得 或 若tan＝1，则＝， ∴α＝与条件矛盾． 若tan β＝1，则β＝， 此时tan α＝＝， ∴α＝. ∴存在α＝，β＝满足题意． 4．证明：(1)分别作BF⊥x轴，CG⊥x轴，AD⊥x轴，垂足分别为F，G，D. (第4题图(1)) ∵M为AB的中点， ∴ME为梯形ADFB的中位线． ∴ME＝(AD＋BF)． ∵AD＝OAsin α＝sin α， BF＝OBsin β＝sin β， ∴ME＝(sin α＋sin β)．① 又∵CG⊥x轴，垂足为G， 由△OME∽△OCG， ∴＝. ∴ME＝. 又∵CG＝OCsin＝sin， OM＝OAcos＝cos，OC＝1， ∴ME＝sincos ＝sincos.② 由①②可知，(sin α＋sin β) ＝sincos. (2)过A，M，C，B作y轴的垂线，垂足分别为D，E，F，G. (第4题图(2)) ∵M为AB的中点， ∴ME为梯形ADGB的中位线． ∴EM＝. ∵GB＝OBcos β＝cos β， DA＝OAcos α