第三节集闭集及其性质.pptVIP

福州大学数学与计算机学院聂建英 第三节一维开集·闭集及其性质 开集的性质 定理3.1 a. 空集，R为开集; b. 任意多个开集之并仍为开集； c. 有限个开集之交仍为开集。 例１：开区间(a,b)为开集 注意：聚点、边界点不一定属于E，内点、孤立点一定属于E。 聚点的等价描述 聚点的等价描述 证明:若p0是E的聚点, 则p0的任意邻域内含有无穷多属于E而异于p0的点. 注：闭集为对极限运算封闭的点集 即：A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列收敛于A中的点 例３：闭区间[a,b]为闭集 设f(x)是直线上的实值连续函数，则对任意常数a，E={x|f(x)a}是开集，而E1={x|f(x)≥a}是闭集 E 从而 即x为E的聚点，从而 E 所以 为闭集. 注： 为包含E的最小闭集 所以 为闭集. 定理3.5 任意一簇闭集之交为闭集； 任意有限个闭集之并仍为闭集。 证明：不妨设 为闭集， 因 ，故 ， 从而 ， 所以 是闭集。 下设 为闭集， 则 ， 因此 为闭集。证毕。 要证E={x|f(x)a}是开集，只要证Ｅ中的点都为内点 ( ) x０ f(x0)+ε f(x0) f(x0)-ε a 由f(x)在x0处连续及极限的保号性知， 存在δ0,当|x-x0| δ时,有f(x)a 证明：任取x0 ∈ E ={x|f(x)a},则f(x0 )a, 例４ ( ) x０ f(x0)+ε f(x0) f(x0)-ε a 类似可证{x|f(x)a}为开集, 从而{x|f(x)≥a} ={x|f(x)a}c是闭集 即O(x0 , δ) ∈ E ={x|f(x)a}, 即x0为E的内点，从而E为开集； 另证：要证E={x|f(x)≥a}是闭集，只要证 任取x0 ∈ E = {x|f(x)≥ a} ,则存在E中的点列{xn} , 使得 由f(x)在x0处连续及f(xn)≥a ，可知f(x0)≥a 所以x0 ∈ {x|f(x)≥ a} ,从而{x|f(x)≥a} 是闭集， 类似可证{x|f(x)≤a} 为闭集, 从而{x|f(x)a} = {x|f(x) ≤a} c是开集. 注：用到了极限保持不等号 前面的证明用了极限的保号性 教材上的例3留给同学自己看看！作为作业. * * Department of Mathematics P0为 E的内点： 记　 为 E的内部（内点全体） 点P0的δ邻域： 点集中的基本概念 定义3.1 P0为 E的边界点： 记 为 E的边界（边界点全体） 则P0为 Ec的内点: P0为 E的外点： 定义3.1 定义3.1 　若集合E的每一个点都E的内点，则称E为开集。 A B 注： 无限多个开集的交不一定为开集， 如：En=(-1/n,1/n),则 不是开集. 说明：要证E是开集，只要证 a b x 证明：任取x∈(a,b),取δ=min{|x-a|,|x-b|}, 则 , 从而x是（a,b）的内点， 故(a,b)是开集。 P0为 E的聚点： P0为 E的孤立点： 记 为 E的导集（聚点全体） 定义3.2 聚点表示它们与集合紧挨， 内点表示它周围的点都在集合内 孤立点的等价定义 称　　　　中的点为 E的孤立点． 与聚点相对的概念是孤立点。当然，E的孤立点一定在E中。 如果E的每一点都是孤立点，则称E为孤立集合。 例２（1）令 E = Q ， 则 （2）令E={1,1/2,1/3,…，1/k,…},则 对一切1/k (k=1,2,3, …)均为E的孤立点。 定理：下列条件等价： (1) p0为E的聚点 (2)点p0的任意邻域内，含有无穷多个属于E而异于p0的点 证明： ． (3)存在E中互异的点列{pn}, 使得 下证 若 的任意邻域内至少含有无穷多属于E而异于 的点,则 为E的聚点. 显然