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f(x)在处的泰勒级数展开式为，当=0时对应的泰勒级数即迈克劳林级数。 首先要知道迈克劳林幂级数常用的七个展开式： 利用ln(1+x)的迈克劳林幂级数展开式（公式如果不记得的话，可以查看相关书） 所以： (n=0，对应于x系数) (n=1，对应于) （n=2，对应于系数） (n=3，对应于系数) R=5 ( ，求幂级数的收敛半径R有三种方法 求极限，令1可以得到m,则收敛半径R=m 若不等于0，则 求极限，令1可以得到m,则收敛半径R=m) 在此题中用到第二种方法，=0 ) 第一个为的泰勒级数 第二个为的泰勒级数 第三个为的泰勒级数 第四个为的泰勒级数 (这个就是那七个常用迈克劳林幂级数展开式中的，这个需要自己记，看看高等数学里无穷级数的内容吧) =-5 =-4 =4 =0（这个直接给出了多项式，对应x的次幂就可以得到各系数） R=-1 （级数收敛域即级数部分和函数收敛的x的集合，显然，在负无穷大到正无穷大和函数都是收敛的，所以R为正无穷大，所以R=-1） 利用的迈克劳林级数展开（七个常用迈克劳林幂级数中的一个） 所以： =60 =900 =12000 =150000 利用泰勒展开（求ln(x)在x=5处的各阶导数） 得到： 利用的迈克劳林级数展开（对于此题，x=-9y, =1/3），得到 项的系数：-3 项的系数：-9 项的系数：-45 由展开式知 即上述多项式可以写成： 所以 所以 R=-1 利用 在x=0处的泰勒展开式（七个常用迈克劳林幂级数展开式之一）（针对本体，x=3x）得 展开式为，所以 的系数为：3 的系数为9 的系数为27 利用sin(x)的麦克老林展开式（七个常用麦克老林展开式）（针对本题x=x^2） 第二个非零项为 第三个非零项为： 积分的近似值为： 利用的迈克劳林展开式（七个常用展开式之一）（针对本题x=-4x^2）得： 项的系数为：-4 ； 项的系数为：8 项的系数为： 积分近似为：（约等于-0.257） 利用cos(x)的迈克劳林展开式（七个常用展开式之一）（针对本题x=3x^2）得： 第二个非零项： 第三个非零项： 第四个非零项： 这个方法是求幂级数的一种方法，即在原函数的幂级数不好求时可以对源函数求一阶导数，然后求一阶导数的幂级数展开式，然后再对级数从0到x积分就得到了原函数的幂级数展开式 k=-1/2 y=-(4x)^2 第二项 第三项 （求f(x)导数的幂级数用到了的展开式） f(x)第一项4x 第二项 第三项 第四项 （对第一问求出的级数积分，积分下限为0，积分上限为x即得到f(x)幂级数展开的各项） 1 第二项 第三项和第四项之和为： （根据泰勒级数定义，先求函数在0点的1、2、3、4、5、6阶导数，带入泰勒级数定义式中） 1 第二项 x 第三项 第四项 （方法同上题） 多项式= （先按规律将多项式写成幂级数形式，然后将幂级数和常用的七个幂级数做对比，便可知道是哪个函数的幂级数） 多项式= （解法同上题） 多项式= （解法同上题） 注：从上面题可知，需要掌握泰勒展开的定义，掌握七个常用迈克劳林展开式的形式，知道求收敛半径的方法（前面已经给出），便可求解这些题目