Robot课件6.ppt

这样的三个单元i,j,k可看成直角坐标系的三个基本适量，于是一般四元数Q的形式为 因此它表示为一个标量部分s和一格矢量部分v。其中s,a,b,c都是实数。 四元数具有以下基本性质： * 单位四元数： ，其中 显然，实数(s,0,0,0)，复数(s,a,0,0)，三维空间矢量(0,a,b,c)都是四元数(s,a,b,c)的特殊情况。 四元数运算规则如下： 加减运算规则，两四元数的和与差等于两者对应元素的和与差。 乘法规则： 注意：四元数的加法满足交换律和结合律。 但是乘法只满足于结合律，并不满足交换律，并不满足交换律。 * 因此，进行乘法运算时，等式右边按初等代数配项，但要保持个单元的次序，一般不能交换。 另外，两个三维矢量表示成四元数再相乘，得到的不是一个矢量，而是个四元数。6.45得 利用四元数代数，可以简单而有效地处理空间有限转动问题。把绕n轴转动θ角的旋转Rot(n, θ)用一个四元数表示为 * 实例 绕k轴转90°，再绕j轴转90°的旋转可用四元数乘积表示： 其合成转动是绕与i,j,k轴等倾角的轴转动120°。 这和第二章中用旋转矩阵所得到的结果完全相同，但是四元数法更简单。 * 计算量比较 * 直角坐标路径控制法 将操作臂工具坐标系沿直线路经在时间T内由节点P0运动到P1的规划方法如下：手部坐标系的每一节点用其次变换矩阵表示为 运动包括两部分：工具坐标系的原点从P0移动到P1，坐标系的姿态由R0转到R1。 令λ(t)在t时刻还要进行剩余运动所需的时间与总时间T之比。那么对于匀速运动，有 * 式中，T是该段轨迹所需时间；t是由这段轨迹起点算起的时间，工具坐标系在时刻t的位置和姿态分别用下面两式表示 式中，Rot(n,θ)是将工具姿态由R0转为R1而绕轴n转θ的旋转 式中Rot(n,θ)代表合成转动。 * 若要求操作臂工具由一段轨迹运动到另一段，且维持等加速度，则在两段之间必须加速或减速。 为此在两段轨迹的交点前τ时刻开始过渡，而在交点后τ时刻完成过渡，两段轨迹过度的边界条件为 如果用等加速度过渡 * 将上式积分两次，并带入边界条件，可得到手部工具坐标系的位置 同样可求得工具坐标系的姿态 角加速度并不是恒定的，除非n1和n2平行或下列两个转速之一为零： * 有节偏差关节路径法（BDJP法） 上述直角坐标路径控制法的计算时间长，难于实时处理操作臂关节空间的种种约束。 解决途径： 1）在运动之前，对实时算法进行仿真，预先算出关节变量解，并存储之，在执行运动时直接从存储器内读出伺服装置的设定点。 2）每隔n个采样区间预先算出关节变量解，然后用低次多项式进行关节插值，对计算出的关节变量进行拟合，生成伺服装置的设定点。 * 问题在于，要使操作臂以一定的精度在直角坐标空间中沿直线路径运动，所需的中间点数随各次具体的运动而异。 为了保证偏差足够小，就要预先规定足够小的采样区间。这样可能会浪费大量的计算时间和存储空间。 因此，Taylor提出了一种关节变量空间的运动算法，成为有界偏差关节路径法。 在预规划阶段，去足够多的中间点，保证操作臂手部在每段运动中偏离直线路径的程度在预定的误差界限之内。 * 这种方法首先计算出预直角坐标系中直线路径节点Pi对应的关节矢量qi，把qi作为关节空间的节点，进行插值计算，方法类似于在直角坐标空间中对路径控制的位置表达式。例如，从节点q0到q1的运动为 两段路径： q0到q1和q1到q2之间的过渡为 上面两个公式使得两节点间的速度均匀，并使两轨迹之间以匀加速度实现光滑过渡。 * 但工具坐标系可能会大大偏离预定的直线路径。 分别考虑移动误差和转动误差两部分： 分别规定最大移动偏差和最大转动偏差。因而偏离误差应限制在以下范围内 为此必须在两相邻节点之间取足够多的中间点，确保6.59得到满足。 Taylor提出的有界偏差关节路径法实质上是递归两分法求中间点，以满足6.59。 * BDJP算法 具体步骤如下： S1 计算关节变量解 计算对应于P0和P1的关节矢量q0和q1. S2 求出关节空间的中间点 计算关节变量空间的中点 S3 求出直角坐标空间的中点 计算相应的直角坐标路径的中点Pc S4 求出偏离误差 计算Pm和Pc之间的偏差 * S5 校核误差界限 若 和 ，则停止。 否则，计算相应于直角坐标中点Pc的关节矢量，并以Pc代替P1，P0代替Pc，并对这两个子段执行递归步骤S2~S3. 上述算法收敛性相当好，每进行一次递归，最大偏差大约减少3/4。 Taylor对圆柱机器人进行研究，考察上述算法的收敛性，发现每次递归，误差减少67%~80%，随操作臂的位置而异