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基于耦合网络Henon映射混沌性研究 　　摘要： 本文针对Henon映射，应用在全局耦合网络、最近邻点耦合网络、星型网络三种耦合网络结构中，验证Henon映射在三种网络网络结构中满足的混沌条件，并分析初始状态下Henon映射在耦合网络中的情况。研究在不同参数条件下，不同耦合网络对于Henon映射的影响。 　　Abstract： This Paper deals with the Henon map， applied to the globally coupled network， a nearest-neighbor coupled network and a star-network three network structures， verifies the chaotic occurrence condition in the three networks. Then analyze the situation of initial-chaotic Henon map in the coupled network， and research in different parameters， the different influences that different coupled networks offer. 　　关键词： Henon映射；全局耦合网络；最近邻点耦合网络；星型网络 　　Key words： Henon map；the globally coupled network；the nearest-neighbor coupled network；star-network 　　中图分类号：T391 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2013）02-0008-03 　　0 引言 　　动态网络是近两年人们关注的焦点，因为一个节点可以代表一个个体，一个组织或者一个细胞等，一个边可以代表我们定义的关系[1]。随着混沌动力学的不断兴起，对于耦合动力学网络下出现的混沌现象的研究是一个日益突出的问题，也必将是一个重点问题。Henon映射，在能源预测，化工生产，以及处理湍流现象都有很好的应用[2-3]。为此，我们将二维Henon映射应用在一些耦合网络中，验证耦合网络在叠加中出现混沌现象的条件。将节点数目增加到N个，使其能更好地在比较大型的耦合网络中得到应用。并在此基础上，分析不同参数的取值对于Henon映射的影响，不同耦合网络对于Henon映射的不同影响，并加以比较，进一步阐释了耦合网络对于Henon映射的影响关系。 　　1 Lyapunov指数及Henon映射 　　1.1 Lyapunov指数 Lyapunov指数是一种描述系统在迭代过程中产生混沌状态的因子，其数学定义式为 　　λ=■■■1n■■（1） 　　其中λ称为Lyapunov指数，它表示系统在多次迭代中，平均每次迭代所引起的指数分离中的指数[4]。 　　若λ＜0，则意味着相邻点最终要靠拢合并成一点，这对应于稳定的不动点和周期运动；若λ＞0，则意味着相邻点最终要分离，这对应于轨道的局部不稳定。若轨道还有整体的稳定因素，则在此作用下反复折叠并形成混沌吸引子[5]。 　　对于一个二维映射的迭代，满足方程式： 　　xn+1=f1（xn，yn）yn+1=f2（xn，yn）（2） 　　根据Lyapunov指数定义式，可得 　　λ=■■■1n■■=■■■1n■ 　　=■■■1n■…■=■1n（λ0.λ1）（3） 　　即Lyapunov指数LE=■■1nλi，i=0，1，LE1=■1n？姿1，LE2=■1n？姿2其中λ为相应的Jacobian矩阵J=■ ■■ ■的特征值[6]。 　　1.2 Henon映射 Henon映射是一个典型的二维系统，在能源预测，化工生产，以及处理湍流现象都有很好的应用。[2-3]其迭代格式方程如下：xn+1=1-ax■■+ynyn+1=bxn（4） 　　其中a与b为参数，在参数不同的情况下，会出现周期性轨迹和混沌[7]。选取参数a=1.2，b=0.3[8]，做出前50个迭代点与Lyapunov指数的关系图（图1）。 　　首先研究参数a与Henon映射的关系。因为yn+1=b*xn，遵循一定的倍数关系原则，可知在b一定的时候，图像y和图像x的走势相同，相差的只是一个系数。故仅需研究参数a与x的关系，可以得知参数a与整个映射之间的关系。（图2） 　　由此可以得知，在节点数目一定时，a是属于（0.0.38）中的某个邻域内的一个点，迭代过程发生分岔现象不明显，此过程与节点数目N无关。但随着a的不断增大，Henon映射发生了周期性的分岔以及混沌。其次研究参数b和Henon映射之间的关系。在参数a取值使得系