正态分布中心极限定理.PPTVIP

* * 第十二讲 正态分布 本次课讲授第四章第1---5节，正态分布，中心极限定理； 下次课讲授第四章第5节，第五章第1---4节;数理统计基础知识； 下次上课时交作业P41---42页； 重点：正态分布的概率、期望与方差； 难点：正态分布的概率、期望与方差； 设独立随机变量 并且方差是一致有上界的，即存在某 则对于任何正数 ?，恒有 定理2（切比雪夫大数定理） 分别有数学期望 及方差 D(X1), 一常数K，使得 第十二讲 正态分布 证 第十二讲 正态分布 第十二讲 正态分布 3.依概率收敛定义 推论： 存在: 设独立随机变量 服从同一分布,期望及方差 则对于任何正数 ?，有 第十二讲 正态分布 在独立试验序列中,设事件 A 的概率P(A) = p， 定理3(伯努利定理） 按概率收敛于事件 A 的概率p.即对于任何正数 则事件 A在 n 次独立试验中发生的频率fn(A),当试验次数 ?, 有 证 设随机变量 Xi 表示事件A 在第 i 次试验中发生的次数(i=1,2, …,n, …), 则这些随机变量相互独立，服从相同的0-1分布， 且有数学期望与方差： 由切比雪夫定理的推论即得 而 就是事件A在n次试验中发生的次数m，由此可知 第十二讲 正态分布 解 设事件 表示“在 n 次独立试验中，事件A发生”； 而 设在每次试验中，事件 A 发生的概率均为 p(0p1)，且 p 很 小(小概率事件)，求在 n 次独立试验中，事件A发生的概率。 例题11-3-1 概率很小的事件在个别试验中是不可能发生的。 3.小概率事件的实际不可能性原理 显然， [注] 小概率事件在大量试验中几乎必然发生。 第十二讲 正态分布 一、正态分布的密度与分布 1.背景：正态分布是现代统计学的基础。18世纪科学家发现测量的误差具有惊人的规律性，这种规律性满足类似于某种特殊的“中间大，两头小”的特征，现实中众多的问题都具有这种特性，棣美佛、拉普拉斯、高斯是最初研究类似现象并发现了其密度和分布的数学家。他们将这种分布称为正态分布。 2.正态分布的密度 第十二讲 正态分布 记作 1.定义 其中? 及? ＞0都为常数，这种分布叫做正态分布或高斯分布。 设连续型随机变量 X 的概率密度为 第十二讲 正态分布 特别地，当 时，正态分布 叫做标准正态分布。 其概率密度为 2.正态分布 的密度曲线 若固定μ=0 第十二讲 正态分布 注：实际问题中许多变量，如测量误差，分子速度，某区域男子身高、某集体学生学习成绩等都被认为服从正态分布 0.5 正态分布 的分布函数是 3.正态变量的分布函数 标准正态分布的分布函数 N(0,1)记为 第十二讲 正态分布 查表 [注1] [注3] 第十二讲 正态分布 12-1-1 求 解 若 , 求X 落在区间 内的概率， 其中 例题12-1-2 第十二讲 正态分布 解 查表得 第十二讲 正态分布 拐点 拐点 随机变量 X 落在 之外的概率小于3‰。 通常认为这一概率很小，根据小概率事件的实际不可能性 原理，我们常把区间 看作是随机变量 X 的 实际可能的取值区间这一原理叫做三倍标准差原理（或3σ 法则）。 第十二讲 正态分布 解 已知 当 当 是不可能事件， 即 设随机变量 服从标准正态分布N (0 , 1)，求随机变量函数 的概率密度。 例题12-1-3 第十二讲 正态分布 二、正态分布的数字特征 1.数学期望 第十二讲 正态分布 1.方差 3.中心矩 第十二讲 正态分布 若 k 为偶数， 若 k 为奇数，奇函数对称积分 则： 设随机变量X服从标准正态分布N (0 , 1)，求随机变量函数 Y=X 2的数学期望与方差。 例题12-2-1 第十二讲 正态分布 解 先求数学期望 求方差 ： 第十二讲 正态分布 例题12-2-2(87,数学一） 第十二讲 正态分布 二维随机变量( X,Y ) 的正态分布概率密度表示如下： 其中，参数 及 分别是随机变量 X 及 Y 的数学期望， 及 分别是它们的标准差， 参数 参数 r 是它们的相关系数。 三、二维正态分布 1.二维正态分布的密度 2.二维正态分布的边缘密度 根据二维分布密度