数分卷(B试班1)解答.docVIP

第 1 页(共 3 页) 第 2 页(共 3 页) 第 3 页(共 3 页) 附加题：设在上可导，且存在，证明： （1）在上一致连续； （2）。(20分) 证明：（1）因，由极限的局部保号性，存在，使得在上 有界，从而由第四大题第3小题（1）知，在上一致连续 又在上连续，从而一致连续 所以，由一致连续的区间可加性得，在上一致连续。 （2）法一：由拉格朗日定理，对任意，存在，使得 由题设， 所以由函数极限的Stolz定理得 。 ………………….( 分) 法二：由极限的定义知，对任意，存在，使得当时 总有 ………………………..(Ⅰ) 又时，由拉格朗日定理及.(Ⅰ)式得 而,从而对上述，存在，使得 当时 取,则当时，有，故。…( 分) ------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 --------------------------------------------------------- 3、设在上可导，且在上有界（即），证明： （1）在上一致连续； （2） ，存在； （3）记， ，则 存在，使 。 （16分） 证明：（1）由题设及拉格朗日定理，对任意，不妨设，总存在 ，使得 ………….(*) 对任意，取，则当时，总有 所以，在上一致连续。 ……………………………..( 分) （2）对任意，取，则当时，总有 从而，由(*)式 ， 所以由柯西准则 存在。 同理可证存在。 ……….………..( 分) （3）对在上作延拓，并取，由柯西定理即可得结论。………( 分) 4、设定义在R上，且 在0，1两点连续，对任意，有，证明： 在R上恒有 。 (10分) 证明：由题设为偶函数，下证在上 即可。 对任意，由题设 ……………………( 分) 所以由在点1连续及归结原则知 ， 又在点0连续，从而， 故 在上 。 ……………………( 分) 再由为偶函数知 命题成立。 (2) ……………………………..( 分) (3) 数列不一定收敛。反例：取 ， 显然，都收敛，但数列不收敛。 ……………………………..( 分) 2、设是定义在上的单调递增的有界函数，证明左极限存在，且 。（10分） 证明：由确界原理得存在，记。由上确界的定义，对任意， 存在，使得 ……………………………( 分) 又单调递增，所以 当时，总有 于是，取，则 当 时，总有 即 ………………………….( 分) 故 命题成立。 ------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 -----------