数分卷(A试班2)解答.docVIP

第 1 页(共 3 页) 第 2 页(共 3 页) 第 3 页(共 3 页) 附加题：（20分）设数列单调递减，且，则 （1）在上一致收敛的充要条件是数项级数 收敛。 （2）在上一致收敛的充要条件是 。 证明：（1）充分性：由M—法则立即可得。 必要性：由一致收敛的柯西准则，，存在，使得当时，对一切正整数p 及，总有 。 让 ，，再由级数收敛的柯西准则收敛。 ………………(10分) （2）必要性：由一致收敛的柯西准则，，存在，使得当时，取p = n 及，总有 ，特别取，并注意到 及，得 ，所以 。再由迫敛性及不等式 知 ，故。 充分性：记，由题设易知 。下证对任意及 总有……..（*），分三种情况 （一）当时，由阿贝尔引理及约当不等式可得 （二）当时，由可得， （三）当时，综合（一）（二）可得 由（*）式及一致收敛的柯西准则得在上一致收敛。 ………..(20分) ------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 --------------------------------------------------------- 3、证明：在上不一致收敛，但在上连续，且有一阶连续的导数。（10分） 证明：因，而发散，故在上不一致收敛。 ………..(4分) 又，，而收敛，所以 在上一致收敛 从而在上内闭一致收敛。由连续性的内闭形式得 在上连续。…….(8分) 同理可证在上内闭一致收敛，由可微性的内闭形式得 在上有一阶连续的导数。 ……………(10分) 4、设为上收敛的可导函数列，如果导函数列在上一致有界，则函数列 在上一致收敛。（10分） 证明：，将k等分，使得，记分点为 ，因，，使 ………………(4分) 由拉格朗日定理，对任意n，p有 再由收敛及柯西准则，存在，使得当时， …..(8分) 记，则当时，， 所以 在上一致收敛。 ……………….(10分) 得分 评阅人 五、证明题（共4题，共49分） 1、（1）证明：数列收敛的充要条件是级数收敛。 （2）利用（1）证明数列收敛，其中。 （14分） 证明：（1）因 ，所以由级数收敛的定义可得结论 ………..(10分) （2）因 收敛，所以由（1）知 数列收敛。 …………….(14分) 2、（1）证明：若在数集E上收敛于，则在E上一致收敛的充要条件是 ，其中， （2）利用（1）证明在上一致收敛。 （15分） 证明：（1）由级数一致收敛的定义及函数列一致收敛的确界法则知 在E上一致收敛在E上一致收敛于 。 ……………………(10分) （2）此级数为交错级数，由莱布尼兹法则知 ， 所以 由迫敛性知 ，再由（1）在上一致收敛。 …………………….(15分) ------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 --------------------------------------------------------- 所以 …………………………….( 5分) 得分 评阅人 四、讨论题（共3小题，共2