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管理运筹学复习题 钟磊刚 第6节??应 用 举 例 一般讲，一个经济、管理问题凡满足以下条件时，才能建立线性规划的模型。 (1) 要求解问题的目标函数能用数值指标来表示，且Z=f(x)为线性函数； (2) 存在着多种方案； (3) 要求达到的目标是在可以量化的，并要有足够数据的一定约束条件下实现的；这些约束条件可用线性等式或不等式来描述。 下面举例说明线性规划在经济管理等方面的应用。 例1 合理利用线材问题。现要做100套钢架，每套需用长为2.9m，2.1m和1.5m的元钢各一根。已知原料长7.4m，问应如何下料，使用的原材料最省。 解 最简单做法是，在每一根原材料上截取2.9m，2.1m和1.5m的元钢各一根组成一套，每根原材料剩下料头0.9m（7.4-2.9-2.1-1.5=0.9)。为了做100套钢架，需用原材料100根，共有90m料头。若改为用套裁，这可以节约原材料。下面有几种套裁方案，都可以考虑采用。 见表1-11。 表1-11 套裁方案 为了得到100套钢架，需要混合使用各种下料方案。设按Ⅰ方案下料的原材料根数为x1,Ⅱ方案为x2，Ⅲ方案为x3，Ⅳ方案为x4,Ⅴ方案为x5。根据表1-11的方案，可列出以下数学模型：  在以上约束条件中加入人工变量x6,x7,x8；然后用表1-12进行计算。 第1次计算 第2次计算 例1-11的 最终计算表（第3次计算） 由计算得到最优下料方案是： 按Ⅰ方案下料30根； Ⅱ方案下料10根； Ⅳ方案下料50根。 即需90根原材料可以制造100套钢架。 例2 配料问题 某工厂要用三种原材料C、P、H混合调配出三种不同规格的产品A、B、D。已知产品的规格要求，产品单价，每天能供应的原材料数量及原材料单价，分别见表1-13和表1-14。该厂应如何安排生产，使利润收入为最大? 解 如以AC表示产品A中C的成分，AP表示产品A中P的成分，依次类推。见表1-13有： 根据表1-13有： 表 1-14 原材料供应数量的限额 表1-14表明这些原材料供应数量的限额。加入到产品A、B、D的原材料C总量每天不超过100kg，P的总量不超过100kg，H总量不超过60kg。由此 约束条件： AC+BC+DC≤100 AP+BP+DP≤100 AH+BH+DH≤60 在约束条件中共有9个变量，为计算和叙述方便，分别用x1,…,x9表示。令 x1=Ac, x2=Ap, x3=AH, x4=BC, x5=BP, x6=BH, x7=DC, x8=DP, x9=DH. 约束条件可表示为： 目标函数 目的是使利润最大，即产品价格减去原材料的价格为最大。 产品价格为：50(x1+x2+x3)——产品A 35(x4+x5+x6)——产品B 25(x7+x8+x9)——产品D 原材料价格为：65(x1+x4+x7)——原材料C 25(x2+x5+x8)——原材料P 35(x3+x6+x9)——原材料H 为了得到初始解，在约束条件中加入松弛变量x10～x16，得到数学模型： 例2的线性规划模型 最优解： 这数学模型，可用单纯形法计算，经过四次迭代，获得最优解为：x1=100,x2=50,x3=50；这表示需要用原料C为100kg；P为50kg;H为50kg，构成产品A。 即每天只生产产品A为200kg，分别需要用原料C为100kg；P为50kg;H为50kg。 从最终计算表中得到，总利润是z=500元/天。 例3 某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10，15，25，20台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如表3-29所示。又如果生产出来的柴油机当季不交货的，每台每积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元。要求在完成合同的情况下，作出使该厂全年生产(包括储存、维护)费用最小的决策 表3-29 解 由于每个季度生产出来的柴油机不一定当季交货，所以设xij为第i季度生产的用于第j季度交货的柴油机数。根据合同要求，必须满足  又每季度生产的用于当季和以后各季交货的柴油机数不可能超过该季度的生产能力，故又有： 第i季度生产的用于j季度交货的每台柴油机的实际成本cij应该是该季度单位成本加上储存、维护等费用。cij的具体数值见 表3-30 设用ai表示该厂第i季度的生产能力，bj表示第i季度的合同供应量，则问题可写成： 目标函数： 满足 显然，这是一个产大于销的运输问题模型。注意到这个问题中当i＞j时