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多項式函數 笛卡爾﹕「我思﹐故我在﹒」 一﹑教材摘要 本章介紹多項式函數及其圖形﹑多項式的運算與應用﹑多項式方程式及多項式不等式﹐共分四節﹒內容重點如下﹕ 2-1 簡單多項式函數及其圖形 首先介紹函數的基本概念及函數圖形﹒接著複習﹕一次函數的圖形是直線﹔二次函數的圖形是拋物線﹒再利用平移﹑對稱等性質找出二次函數圖形的頂點坐標﹐及二次函數的極值﹒最後描繪次數不超過4次之單項式函數的圖形﹒ 2-2 多項式的運算與應用 首先介紹多項式及其相關名詞的定義﹒接著介紹多項式的四則運算、除法定理及綜合除法﹒再探討兩個重要定理：餘式定理與因式定理﹐進而導出牛頓定理及插值多項式﹒ 2-3 多項式方程式 首先引進複數﹐再討論一元二次方程式的公式解﹐並介紹根與係數的關係及兩根的性質﹒接著介紹多項式方程式及根的意義﹐至於方程式的求解問題﹐則先介紹利用牛頓定理去找整係數方程式的有理根﹐再證明虛根成對定理﹒最後介紹如何利用勘根定理求實根的近似值及的意義﹒ 2-4 多項式函數的圖形與多項式不等式 辨識已分解之多項式函數的圖形﹒介紹多項式不等式及其解的意義﹐並利用將多項式因式分解成一次式或二次式的乘積﹐以代數及幾何兩個觀點﹐求得多項式不等式的解﹒ 二﹑教學目標與時數 教 學 目 標 建議授課時數 2-1 簡單多項式函數及其圖形 1. 能了解函數及函數圖形的意義﹒ 2. 能畫出一次函數的圖形﹐並寫出其斜率與軸截距﹒ 3. 能畫出二次函數的圖形﹐並寫出拋物線的頂點坐標與對稱軸方程式﹒ 4. 會利用配方法求二次函數的極值﹒ 5. 能了解二次函數判別式的應用及其幾何意義﹒ 6. 知道簡單多項式函數圖形的特徵﹒ 2-2 多項式的運算與應用 1. 能了解多項式及其相關名詞的意義﹒ 2. 熟練多項式的四則運算﹒ 3. 熟練分離係數法及綜合除法的運算﹒ 4. 能了解多項式的除法定理及其應用﹒ 5. 能了解餘式定理及其應用﹒ 6. 能了解牛頓定理及其應用﹒ 7. 能了解插值多項式及其應用﹒ 2-3 多項式方程式 1. 認識虛數及複數﹒ 2. 能作複數的四則運算﹒ 3. 能利用一元二次方程式的公式解求根﹒ 4. 能了解一元二次方程式的判別式與根的性質間的關聯性﹒ 5. 能了解多項式方程式及其相關名詞的意義﹒ 6. 能利用牛頓定理尋找方程式的有理根﹒ 7. 能了解虛根成對定理及其應用﹒ 8. 能了解勘根定理及其應用﹒ 9. 能了解正次方根的意義﹒ 2-4 多項式函數的圖形與多項式不等式 1. 能辨識已分解之多項式函數的圖形﹒ 2. 能了解多項式不等式及其相關名詞的意義﹒ 3. 能了解一次不等式的解法及其應用﹒ 4. 能了解二次不等式的解法及其應用﹒ 5. 能了解高次不等式的解法及其應用﹒ 6. 熟練並利用因式分解與函數圖形相配合﹐解多項式不等式﹒ 6 8 8 8 三﹑教材地位分析 已習教材 本章教材 未習教材 四﹑教學方法與教學診所 2-1 簡單多項式函數及其圖形 1. 一次函數與二次函數在國中時﹐學生均已學過﹒在此節可再加強其基本概念﹒ 2. 對於將二次函數利用配方法寫成的形式﹐學生常算錯﹐尤其當是分數時更嚴重﹐教師可視情形多讓學生練習﹒ 3. 強調二次函數判別式的幾何與代數意義﹒ 4. 引導學生了解多項式函數圖形是一條彎彎曲曲的曲線﹐而目前所描繪出的曲線﹐只是其大略圖形而已﹒ 2-2 多項式的運算與應用 1. 多項式與方程式常讓初學者混淆﹐教師要特別說明其差別﹒例如：學生常將多項式化簡為﹒ 2. 雖然5﹐﹐都是多項式﹐但在上課時不要太強調這種多項式﹒ 3. 對於零多項式無次數可言﹐不宜作太深入的探討﹒ 4. 利用分離係數法作四則運算時﹐必須特別強調缺項一定要補「0」﹐以免產生錯誤的答案﹒ 5. 對於綜合除法與長除法﹐必須舉例讓學生了解兩者的使用時機﹐以加強學生處理問題的能力﹒ 6. 除式為二次式雖然也有「綜合除法」﹐但並不簡易好記﹐不如仍用長除法﹒因此不宜講授﹐以免徒增學生的負擔﹒ 7. 強調可利用綜合除法將一般的多項式表成之多項式﹒ 8. 餘式定理雖好用但卻抽象﹐教師可用長除法或綜合除法來驗證餘式定理﹐讓學生相信餘式原來可以這麼簡單求出﹐再進而證明餘式定理﹒ 9. 強調當餘式定理中的餘式等於0時﹐則為因式定理﹒ 10. 講授牛頓定理時必須說明兩點：(1)適用於整係數多項式﹒ (2)找出所有可能的一次因式只是必要條件﹐因此還必須利用因式定理作進一步的篩選﹒ 11. 可先讓學生知道：若多項式的所有係數和等於0﹐則有的因式﹔若的奇數項係數和等於偶數項係數和﹐則有的因式﹒當遇到一多項式沒有及的因式時﹐再引入牛頓定理﹐如此往往可降低學生尋找一次因式的難度﹒ 12. 插值多項式宜清楚的交代如何產生﹐不可要求學生一味的強記﹒ 2-3 多