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* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * A P Z mg ω l O Z X O 而 可得 矢量形式 进动角速度Ω 二、玩具陀螺的进动 ω Ω mg O θ l c O 进动角速度Ω 矢量形式 陀螺的运动特点 当对着旋转着的有一点固定的陀螺施加外力时，它不顺着外力方向倾斜，而向着与外力垂直的方向即力矩方向倾斜； 在外力矩作用下，陀螺并不产生与力矩成正比的角加速度，而是产生与力矩成正比的进动角速度。 考虑陀螺进动所产生的附加角动量 陀螺进动所产生的附加角动量 它使总角动量的方向略有上翘 若陀螺在初始时刻的角动量沿水平方向，然后由静止释放，在稳定进动时，陀螺的头略向下倾斜，使总的角动量仍沿水平方向。 自动导航 枪管炮筒中的来复线 回转效应的应用 例 在长为l的轴的一端，装上回转仪的轮子，轴的另一端吊在长为L的绳子上。当轮子绕轴快速转动时，轮将在水平面上绕过支点O的铅直轴作匀速进动。轮子的质量为M，对过质心的自转轴的转动惯量为I0，自转角速度为ωs，求绳和铅直线所成的小夹角β。 ω l T β O L Mg 因而质心作半径近似为l的圆周运动，体系必受到一指向铅垂轴的力，该力只能由绳子的张力分量提供。 【解】轮子在自身重力作用下，作匀速进动，进动角速度为 得到 * * * 教师应依照上图像详细讲解卡文迪许扭称的组成和测量原理． * * 教师应讲解具体的测量过程和其中蕴含的物理思想和科学方法． * * * * * * * * * * * * * * * * * 五. 惯量张量 x y z ω o α β γ 选o－xyz坐标系下 五. 惯量张量 O为固定点，讨论过O点的任意转轴情况 由 得 代入 1. 动量矩 可得 即 令 且有 则 其中 Ixx、 Iyy、I zz 分别是刚体相对 x、y、z 轴的转动惯量； Ixy、 Iyx、I xz、Izx、 Iyz、I zy 是交叉项，称作惯量积。 若是连续的质点组，应该是积分 角动量的矩阵形式 以上，Ixx、Ixy、…、Izz等9个量组成了一个张量，称为惯性张量。 当z轴与转轴重合时，ωx＝ωy＝0。 角动量矩阵简化为 即 2. 刚体的转动动能和转动惯量 即 代入 可得 刚体绕固定轴转动的动能 对比上两式，可得转动惯量 I 的表达式 又因为 代入上式可得 将 cosα，cosβ，cosγ 分别记为α，β 和 γ I 的矩阵形式为 对于具有几何对称性的匀质刚体，若选择其对称轴为坐标轴，则可消除掉交叉项Iij。 例如z轴是刚体的几何对称轴，则刚体上任意一点（xi，yi，zi），总存在一个对称点（xj，yj，zj），并有 xi＝－xj，yi＝－yj，zi＝zj 使得 惯量积为0时，J、I、Ek的划简形式 ① 角动量 ② 转动惯量 ③ 动能 矩阵形式 ① 角动量 ② 转动惯量 ③ 动能 例 一个质量为m，半径是R的圆盘绕过其盘中心的竖直轴以匀角速ω旋转，盘面的法线与竖直轴的夹角为α。求（1）圆盘相对竖直轴的转动惯量；（2）设支撑轴承A、B距盘心O的距离为L，求A、B处附加压力。 L L y x z α A B ω R O α ω ωz ωx z x α J Jz Jx J1 x z J2 以O点为原点，z轴沿盘面的法线方向，建立O－xyz坐标系，z轴、x轴和转轴在一个平面内 则 而 则有 本题可以这样考虑，将 Jx 和 Jz 分别向转轴方向投影并求和，得到 J 的转轴分量为 J1 而 得到 求附加压力 角动量J的大小不变，方向改变，它随刚体绕转轴旋转，所以J是一个变量。 α J Jz Jx J1 x z J2 J2(t) J2(t+△t) △φ ΔJ2＝J2Δφτ J的变化是由于J的与轴垂直的分量J2变化所致。J2绕转轴以ω的角速度旋转。 J2 的大小不变，但方向变化。 陀螺、又称为回转仪 具有大的转动惯量对称轴，并绕该对称轴高速旋转的刚体称为回转仪，或称陀螺 4.4 回转运动（陀螺的运动） ω Ω mg O 玩具陀螺 θ 常平架陀螺仪 杠杆回转仪 无外力矩作用时，自转轴方向不变 若陀螺、轴及重物系统的重心C偏离Z轴一距离l，导致有重力矩τ，杠杆仍保持水平，并按逆时针方向绕竖直轴（Z轴）缓慢地转动。 回转仪在绕自转轴高速旋转的同时，自转轴还将绕某竖直轴回转的现象称为进动 杠杆回转仪运动特性 一、杠杆陀螺的进动 说明 刚体作定轴转动，通常受到力矩的作用 当转轴为刚体的对称轴时， 称为转动定律 此式是刚体作定轴转动时沿转轴（即 z 轴）方向的动力学方程，