电磁波和电磁场-第一章-矢量分析.ppt

本章的基本要求： 1、理解标量场和矢量场的概念，了解标量场的等值面和矢量场的矢量线的概念。 2、直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系是三种常见的坐标系，应该熟练掌握。 3、矢量场的散度和旋度、标量场的梯度是矢量分析中最基本的概念，应深刻理解，掌握散度、旋度和梯度的计算公式和方法。 4、散度定理和斯托克斯定理是矢量分析的两个重要定理，应熟练掌握和应用。 5、理解亥姆霍兹定理的重要意义。 本章的重点、难点讨论： （1）矢量场的散度和旋度用于描述场的不同性质，它们的主要区别在于： ? 一个矢量场的旋度是一个矢量函数，而一个矢量场的散度是一个标量函数； ?旋度描述的是矢量场中各点的场量与旋涡源的关系，而散度描述的是矢量场中各点的场量与通量源的关系； ? 在旋度公式 中，矢量场 的场分量 分别只对与其垂直的方向的坐标变量求偏导数， 所以矢量场的旋度描述的是场分量在其垂直的方向上的变化规 律； （2）亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，矢量场是由它的 散度和旋度唯一的确定，矢量场的散度和矢量场的旋度各对应 矢量场的一种源。所以，分析矢量场总是从研究它的散度和旋 度着手，散度方程和旋度方程组成了矢量场的基本方程（微分 形式）。也可以从矢量场沿闭合面的通量和沿闭合路径的环流 着手，得到基本方程的积分形式。 （3）一个标量场的性质可由它的梯度来描述，即 标量场的梯度具有如下性质： ?标量场 的梯度是一个矢量场，并且 ?标量场 中，在给定点沿任意方向 的方向导数等于梯度在该方向的投影，即 ?标量场 中每一点的梯度垂直于过该点的等值面，并且指向 增加的方向。 作业：P32-33 1.22， 1.29 * 1.5 矢量场的环流与旋度 矢量场的环流与旋涡源 例如：流速场。 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。 * 如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即 上式建立了磁场的环流与电流的关系。 磁感应线要 么穿过曲面 磁感应线要么同时 穿入和穿出曲面 磁感应线 * 如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场，又称为保守场。 环流的概念 矢量场对于闭合曲线C 的环流定义为该矢量对闭合曲线C 的线积分，即 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。 * 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源 宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入 矢量场的旋度。 2. 矢量场的旋度（ ） （1）环流面密度 称为矢量场在点M 处沿方向 的环流面密度。 特点：其值与点M 处的方向 有关。 过点M 作一微小曲面?S ，它的边界曲线记为C，曲面的法 线方向 与曲线的绕向成右手螺旋法则。当?S?0 时，极限 概念：矢量场在 M 点处的旋度为一矢量，其数值为M 点的环流面密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法线方向，即 物理意义：旋涡源密度矢量。 性质： （2）矢量场的旋度 直角坐标系中 、 、 的表达式 推导 的示意图如下图所示。 * 而 o y Dz Dy C M z x 1 2 3 4 计算 的示意图 * 于是 同理可得 故得 * 旋度的计算公式: 直角坐标系 圆柱坐标系 球坐标系 * 旋度的有关公式： 矢量场的旋度 的散度恒为零 标量场的梯度 的旋度恒为零 任意矢量场旋度的散度等于零，“旋无散” 。 标量场的梯度恒等于零，“梯无旋”。 * 3. 斯托克斯定理 斯托克斯定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。 曲面的剖分 方向相反大小相等结果抵消 从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的面积分，即 * 4. 散度和旋度的区别 * 1. 矢量场的源 散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和， 源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量 场在该点的