幂函数图像和性质(用).ppt

幂函数 问题引入 (1)如果回收旧报纸每公斤１元,某班每年卖旧报纸ｘ公斤, 所得价钱ｙ是关于ｘ的函数 　　　　　　　　　　　　　　 (2) 如果正方形的边长为ｘ，面积ｙ,这里ｙ是关于ｘ的函数; (3) 如果正方体的边长为ｘ, 正方体的体积为ｙ, 这里ｙ是关于ｘ函数; 　(4)如果一个正方形场地的面积为ｘ, 这个正方形的边长为ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数; 　(5)如果某人ｘ秒内骑车行驶了１ｋｍ,他骑车的平均速度是ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数. 我们先看几个具体问题: 以上各题目的函数关系分别是什么？ 5个函数式的共同特征： (2) 底数是自变量； (1) 指数是常数； (3) 函数式前的系数都是1； 归纳 概括 (4) 形式都是 ，其中 是常数. 幂函数定义： 一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数． 新课讲解 (2) 底数是自变量； 特点：(1) 指数是常数； (3) 函数式前的系数都是1； (4) 形式都是 ，其中 是常数. 练习：判断下列函数哪几个是幂函数？ 答案（2）（6）（8） 联系旧知 形成区别 指数函数与幂函数的对比 自变量在指数位置 自变量在底数位置 （指数函数） （幂函数） （指数函数） （幂函数） 快速反应 （指数函数） （幂函数） 这种方法叫待定系数法 例题讲解 五个常用幂函数的图象和性质 (1) (2) (3) (4) (5) 作出下列函数的图象: x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 9 4 1 0 1 4 9 … … -27 -8 -1 0 1 8 27 … … \ \ \ 0 1 … … -1/3 -1/2 -1 \ 1 1/2 1/3 … y=x 公共点 单调性 奇偶性 值域 定义域 y=x-1 y=x1/2 y=x3 y=x2 y=x 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 (1,1) (0,0) (1,1) (0,0) (1,1) (0,0) (1,1) (0,0) (1,1) R R R {x|x≠0} ［0,+∞) R R {y|y≠0} ［0,+∞) ［0,+∞) x∈[0,+∞)时,增 x∈(-∞,0]时,减 增 增 增 x∈[0,+∞)时,减 x∈(-∞,0]时,减 图像性质 当a为奇数时,幂函数为奇函数, 当a为偶数时,幂函数为偶函数. 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -6 -4 -2 2 4 6 y= x -1 y= x 1 2 y= x 3 y= x 2 y=x (4,2) (-2,4) (2,4) (-1,1) (-1,-1) (1,1) 0 1 1 0 图 象 特 点 性 质 o y x 1 1 o y x 1 1 o y x 1 1 在[0，+∞)为 单调增函数. （慢增） 在[0，+∞)为 单调增函数. （快增） 在（0，+∞)为 单调减函数. (慢减) 都经过定点（1，1） 幂函数图象在第一象限的分布情况： ＝1 幂函数在第一象限的图像 ★所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象都通过点(1,1). ★如果a0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1)并在[0,+∞) 上为增函数. ★ 如果a0,则幂函数的图象过点(1,1),并在(0,+∞)上为减函数，一定不过点（0,0）. ★一般地，幂函数的图象在直线x=1的右侧，a越大图像越在上方，在Y轴与直线x =1之间正好相反。 例1. 利用单调性判断下列各值的大小。 （1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3 与 0.30.3 (3) 解:(1)y= x0.8在(0,+∞)内是增函数, ∵5.25.3　∴ 5.20.8 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数 ∵0.20.3∴ 0.20.3 0.30.3 (3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数 ∵2.52.7∴ 2.5-2/52.7-2/5 a1 0a1 a0 a=1 a=0 a1 0a1 a0 a=1 a=0 范例讲解 (1) 若能化为同指数，则用幂函数的单调性； (2) 若能化为同底数，则用指数函数的单调性； (3) 当不能直接进行比较时，可在两个数中间插入一个 中间数,间接比较上述两个数的大小. 例2 用不等号