幂函数、函数的零点及应用 高三.docVIP

第3讲 幂函数 ★知识梳理 一、幂函数的概念 一般地，形如（R）的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数 二、幂函数的图像及性质 定义域 R R R 奇偶性 奇 奇 奇 非奇非偶 奇 在第Ⅰ象限的增减性 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递减 幂函数（R，是常数）的图像在第一象限的分布规律是： ①所有幂函数（R，是常数）的图像都过点； ②当时函数的图像都过原点； ③当时，的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如）； ④当时，的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如） ⑤当时，的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如） ⑥当时，的的图像不过原点，且在第一象限是“下滑”曲线（如） ★重、难点突破 重点：幂函数的函数的图像与性质函数的图像与性质函数时，幂函数； （2）在第一象限内都是增函数； （3）在第一象限内，时，图象是向下凸的；时，图象是向上凸的； （4）在第一象限内，过点后，图象向右上方无限伸展。 当时，幂函数； （2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的； （3）在第一象限内，图象向上与轴无限地接近；向右无限地与轴无限地接近； （4）在第一象限内，过点后，越大，图象下落的速度越快。 无论取任何实数，幂函数的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。 ★热点考点题型探析 考点 幂函数的概念、图象和性质 题型1：利用幂函数的单调性比较大小 [例1]（中山市09届月考）已知，试比较的大小； [解题思路]欲比较这几个数的大小，因为它们的指数相同，应考虑某个幂函数的单调性 题型2：由幂函数的性质确定解析式 [例2] 已知函数f(x)=x(p∈Z)在(0,+∞)上是增函数，且在其定义域上是偶函数。 （1）求p的值，并写出相应的函数f(x)的解析式。 （2）对于（1）中求得的函数f(x)，设函数g(x)=－qf[f(x)]+(2q－1)f(x)+1q(q0)，使得g(x)在区间(－∞,－4(－4,0)f(x)=x(p∈Z)在(0,+∞)上是增函数即可知 ，又由p∈Z即可确定p的值 （2）根据（1）的结果，利用函数单调性的定义进行探索求解。 [名师指引]（1）解决这类问题要紧扣幂函数的定义和性质，依单调性从其指数入手；（2）复合函数的单调规则是我们处理复合函数的单调性的重要依据。 [新题导练] 1．（珠海斗门中学, ②及直线③，④将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”： Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ（如图所示）， 那么幂函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是（ ） A．Ⅳ，Ⅶ ；B． Ⅳ，Ⅷ；Ｃ．Ⅲ，Ⅷ；D． Ⅲ，Ⅶ 2．若，则的取值范围是 3．求函数的定义域、值域，并判断其单调性 [备选例题]已知函数满足 （1）求的值并求出相应的的解析式； （2）对于（1）中得到的函数，试判断是否存在，使函数在区间上的值域为？若存在，求出；若不存在，说明理由 [解题思路]利用求，易得的解析式，再利用表达从而求解 ★抢分频道 基础巩固训练： 1．在函数中，幂函数的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3(2007·山东)设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为如图所示,曲线是幂函数在第一象限内的图像,已知分别取四个值则相应图像依次为： 2007·广东实验中学)设，如果是正比例函数，则m=______,如果是反比例函数，则m=______,如果是幂函数，则m=______函数的图象只可能是( )  A B C D 的定义域、值域及函数值y随x变化规律，并画出其图象． 7．当时，下列不等式中正确的是（ ） ；；； 第4讲 函数与方程 ★知识梳理 一、函数的零点的实数根又叫做函数的零点方程有实根函数的图像与x轴有交点函数有零点；如果函数在区间上的图像是连续不断的，且有，则函数在区间上有零点。如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，且，通过不断地把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 ，用二分法求函数的零点，验证，给定精度； （2）求区间的中点； （3）计算：①若，则就是函数的零点，则令（此时零点，则令（此时零点） （4）判断是否达到精度； 即若，则得到零点（或）；否则重复步骤（2）-（4） ★热点考点题型探析 考点1 零点的求法及零点的个数的零点. [解题思路]求函数的零点就是求方程的根 [名师指引] 函数的零点不是点，而是函数函数的图像与x轴交点的横坐标，即零点是一个实数。f(x)=lnx＋2x