第章 大数定律和中心极限定理..docVIP

第5章 大数定律和中心极限定理 本章教学基本要求 1.了解切比雪夫不等式，会用该不等式估算某些事件的概率. 2.了解相关大数定律. 3.了解相关中心极限定理，会用定理近似计算事件的概率. 5.1大数定律 一、主要知识归纳 1.切比雪夫不等式：设随机变量具有均值，方差，则对于任意正数，有不等式 成立. 2. 切比雪夫大数定理：设随机变量相互独立，均具有有限方差，且有公共上界，即 ，则对于任意，有成立. 3.辛钦大数定理：设相互独立，服从同一分布的随机变量序列，且具有数学期望.作前个变量的算术平均值，则对于任意，有 成立 4.伯努利大数定理：设是次重复独立试验中事件发生的次数，是在一次试验中事件发生的概率，则对于任意正数，有 成立. 二、基础练习 1．设随机变量的数学期望，方差，试利用切比雪夫不等式估计下列概率值： （1） （2）. 2．用切比雪夫不等式估计200个新生儿中,男孩多于80个且少于120个的概率(假定生男孩和女孩的概率均为0.5) 3.设随机变量是独立同分布的随机变量，其分布函数为，则辛钦大数定理对此序列（ ） A 适用 B 当常数、取适当数值时适用 C 不适用 D 无法判断 5.2中心极限定理 一、主要知识归纳： 1.独立同分布中心极限定理:设随机变量相互独立服从同一分布，且具有有限的均值与方差，则对任意实数有成立. 2.棣莫佛-拉普拉斯（De Moivre-Laplace）定理:设～，则对任意实数，有 成立. 二、基础练习 1.一加法器同时收到20个噪声电压，设它们是相互独立的随机变量，且都在区间上服从均匀分布.记，求的近似值. 2.对于一个学生而言，来参加家长会的家人是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15.若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长人数相互独立，且服从同一分布. （1）求参加会议的家长人数超过450的概率； （2）求有1名家长来参加会议的学生人数不多于340的概率. 本章小结 一 本章知识结构图 二、综合练习 1. 设随机变量的数学期望，方差，则由切比雪夫不等式有. 2.一颗骰子连续掷4次,点数总和为.估计. 3.生产灯泡的合格率为0.6,求10000个灯泡中合格数在5800~6200的概率. 4.一大批种蛋中,良种蛋占80%.从中任取500枚,求其中良种蛋率未超过81%的概率. 5.某商店负责供应某地区1000人商品,某种商品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6,假定在这一段时间个人购买与否彼此无关,问商店应预备多少件这种商品,才能以99.7%的概率保证不会脱销(假定该商品在某一段时间内每人最多可以买一件). 6.对敌人的防御阵地进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量，其数学期望是2，方差是1.69，求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率. 7.设是相互独立的随机变量,且它们都服从参数为的泊松分布.记,利用中心极限定理计算 8.设某种器件使用寿命(单位:小时)服从指数分布,其平均使用寿命为20小时,具体使用时是当以器件损坏后立即更换另一新器件,如此继续,已知每个器件进价为元,试求在年计划中应为此器件作多少元预算,才可以有95%的把握一年够用(假定一年有2000个工作小时). 三、单元测试 填空题：（每小题5分，共20分） 1．设随机变量与相互独立，且，，，，则由切比雪夫不等式有. 2．设是个相互独立同分布的随机变量，，，，对于，则，. 3．设～，当时，则. 4．设随机变量相互独立同分布，且，，则. 二、选择题：（每小题5分，共20分） 1．设随机变量～，则随的增大，概率是（ ） A 单调增大 B 单调减少 C 保持不变 D 增减不定 2．设为独立同分布序列，且服从参数为的指数分布，则（ ）其中. A B C D 3．设随机变量相互独立同分布，，，，令，则对任意，从切比雪夫不等式直接可得（ ） A B C D 4．假设随机变量相互独立且服从同参数的泊松分布，则下面随机变量序列中不满足切比雪夫大数定律的是（ ） A B C D 三、计算题：（每小题12分，共60分） 1．已知正常成人男性血液中，每一毫升含白细胞数平均为7300，均方差为700，试利用切比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200至9400之间的概率. 2．设各零件的重要都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5公斤，均方差为0.1公斤.问5000只零件的总重量超过2510公斤