北师大版高中数学必修四从速度的倍数到数乘向量.docVIP

课题：从速度的倍数到数乘向量 第一课时：数乘向量 江西省吉水二中 汪伍根 教学分析 向量的数乘运算，其实是加法运算的推广及简化，与加法、减法统称为向量的三大线性运算。教学时，从加法入手，引入数乘运算，充分展现了数学知识之间的内在联系。实数与向量的乘积，仍然是一个向量，既有大小，又有方向，特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出向量共线定理。向量共线定理是本章节重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提条件：向量是非零向量。向量共线定理的应用主要用于证明共线或平行等几何性质，且与后续的知识有着紧密的联系。 教学目标 一、知识目标 1、掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义； 2、掌握实数与向量的积的运算律； 3、理解向量共线定理，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行。 二、能力目标 1、培养学生的观察，分析归纳，抽象思维能力，以及运算能力和逻辑思维能力。 2、体会重要的数学解题思想：特殊到一般、归纳猜想类比、分类讨论、等价转换等。 三、德育目标 通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取精神；通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用。 教学用具 多媒体，实物投影仪 教学过程 一、实例分析，类比导入 1、教师引导学生分析实例： （1）在急风骤雨，雷电交加的夜晚，为什么我们总是先看到闪电，后听到雷声。 （2）在自由落体运动中，物体在1S末的速度V1和2S末的速度V2的关系。 2、在代数运算中a+a+a=3a，故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法。那么相同向量的求和运算是否也有类似的简便运算？ 作图：++（放课件） 二、新知探究，简单应用 1、实数与数量积的定义： 一般地，实数入与向量的积是一个向量，记作入，它的长度与方向规定如下： （1）长度：|λ|=|λ||| （2）方向： 2、实数向量积的运算律 结合律：λ(μ）=(λμ) 第一分配律：(λ+μ)=λ+μ 第二分配律：λ(+)=λ+λ 提问：从几何角度如何解解第二分配律？与学生共同探究 λ＞0 λ＜0 3、关于数乘向量的几点说明 （1）数乘向量是一个与已知向量共线的向量 （2）λ·=，0·= （3）实数与向量不能进行加减运算，如λ+，λ－ 例1：计算 （1）3（－）－2（+2）= （2）2（2+6－3）－3（3+4－2）= 解题回顾：它们的运算与多项式的运算类似。 三、探索定理，感悟方法 1、提出问题：引入向量数乘运算运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？ 2、探索规律，归纳定理： 向量共线判定定理：是一个非零向量,若存在一个实数λ，使得=λ，则向量与共线。 向量共线性质定理：若向量与非零向量共线，则存在一个实数λ，使得=λ 综合可知：若是一个非零向量，则=λ与共线 3、应用示例 例2、如图：已知=4，=4，试判断与是否共线 变式练习 （1）求证：A、C、E三点共线 （2）试判断直线DE与BC是否平行 （3）若点B、C分别是AD、CE的中点， 试用向量证明BC平行DE且等于DE的一半。（三角形中位线定理） （4）设，是两个不共线向量，已 知=2+λ,=+3，若A、B、C三点共线，求λ的值。 例3：如图A、B、C是平面内三个点，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数λ使得 =λ+（1－λ） 解题回顾 （1）特例：当C是AB中点 =（+）这是中线的向量表示形式 （2）由本题的解题过程反推可知：由=λ+（1－λ） 可以推出A、B、C三点共线。 （3）定理：A、B、C三点共线任取一点P，存在实数λ、μ使得， PA=λ+u（λ+μ=1） 4课堂练习 （1）判断A、B、C三点是否共线 =+ =+ （2）若=，=，=λ（λ≠－1）则等于（ ） A、+λ B、λ+（1－λ） C、λ+ D、+ 四、学生小结，共同回顾 1、让学生回顾本节学习的数学知识：向量的数乘运算法则，向量的数乘运算律，向量共线定理。体会本节学习中用到的思想方法：特殊到一般，归纳猜想类比，分类讨论，等价转化。 2、向量及其运算与数及其运算可以类比，这种类比是我们提高思想性的有效手段，在今后的学习中应予以充分的重视，类比是我们学习中伟大的引路人。 五、布置作业，课外延伸 1、作业：课本第85面1、2、4。 2、课外思考题： 如图：过△OAB的重心M的直线与OA、OB 分别交于C、D设=h， =k 求+的值。 λ