第2章 弹性体的振动(2-1,2-2).pptVIP

第二章 弹性体的振动 主要内容 弦的振动 棒的振动 膜的振动（略） §2-1 弦的振动 重点: 1、弦振动方程的建立； 2、弦自由振动的一般规律. 难点: 弦自由振动的一般规律. §2-1-1 弦的振动方程 集中参数系统: 振动系统的质量是集中在一点的,弹簧压缩与伸长是均匀的,描述系统性质的参数(如质量,弹性系数,力阻等)都是与空间位置无关. 分布参数系统: 振动系统质量在空间有一连续分布,并且空间某一部分的质量本身还包括弹性和阻尼性质.(如弦,棒,膜) 条件:设弦是均匀的,柔软的,所谓柔软,即在放松条件下可把弦弯成任意形状,它都保持静止,但在绷紧的情况下,相邻小段之间有拉力,称为张力,以张力作为弹性恢复力进行振动的弹性体. 假设弦是很轻的,它的重量只是张力的几万分之一,与张力相比,弦的重量可以略去. 密度为ρl,长为l,两端固定并被张紧的细绳,在静止时处于水平平衡位置,维持平衡的是张力. 建立弦振动方程 §2-1-2 弦振动方程的一般解 §2-1-3 弦自由振动的一般规律—弦振动的驻波解 弦振动的驻波解 求第n次振动方式的波节和波腹 初始条件对弦振动的影响 例1 §2.2 棒的纵振动 重点: 1、棒振动方程的建立 2、棒的自由振动的一般规律 难点: 棒自由振动的一般规律 2-2-1 棒的纵振动方程 建立棒振动方程 棒的纵振动的一般规律（方程的解） 2-2-2两端固定的棒的振动 2-2-3两端自由的棒振动 例：一端(l)自由,一端(0)固定的棒的纵振动 再根据正弦函数的性质可以确定,当 n 为偶数时 当 n为奇数时 由以上结果可得 弦振动的位移为 条件:均匀的(密度、粗细)细(dλ)棒,振动沿轴线传播(纵振动),恢复力主要是棒的劲度. 一均匀棒,只要在棒中的某一小段有纵向的位移或振速,则必然会引起邻段的压缩或伸长,这种伸缩的传播即为纵振动沿棒轴的传播. 设 棒密度为ρ ,取轴线的方向为x 轴,当它在平衡位置附近作沿 x 轴的微小振动时(纵振动) ,研究棒上各点的(纵向)位移 ? 与坐标 x 及时间 t 的关系即 1. 分段:在棒上切出一小段 B ,其两端在平衡位置时,坐标分别为 x 和 x+dx,研究它的情况. 2. 分析:在振动时,x 端的位移为?( x, t), x+dx 端的位移为?(x+dx, t), 因而该元段棒B 的总伸长为 设临段对该元段B的x点的作用力为Fx,棒的截面 积为S,则单位面积的作用力为Fx/S ,称为应力, 此应力作用下的相对伸长(应变)为: 由弹性体的虎克定律,应力与应变成线性关系,即: 比例系数 E 称为杨氏模量,是表示物质劲度的常数 上式也可写成: 同样,元段x+dx端也会受到临段的作用力, 所以,作用在元段dx的合力为: 整理得 棒纵振动方程.式中 c 是棒的纵振动传播速度. 考虑到这一小段的质量为? S dx ,根据牛顿第二定律得 由于棒的振动方程与弦的振动方程有相同的形式,所以对比弦振动方程的求解结果,可知棒自由振动方程的一般解为: 同弦振动类似,棒的振动也要受到边界条件和初始条件的制约,下面就来讨论这些条件的影响. 式中 k 称为波数 棒不必像弦一样一定要把它张紧,将棒两端固定或自由悬挂都可引起振动.由此可见,棒作纵振动时边界条件可以呈多种形式.不同的边界自然会产生不同的振动方式. 下面我们以几种边界例子来讨论. 解: 边界条件 方程的解 方程 边界条件代入解,可得 则 fn 即为两端固定的棒作纵振动时的简正频率. 由(5)式知,与这些简正频率振动方式为: 上式方程表示的是一种“驻波”形式的振动过程, n=1基波,N1为n次谐波. 节点位置: 波腹: 得到: 即 n次振动有n个波腹. 常数 Cn和Dn由初始条件确定. 设初始条件为: 棒的振动一般解应是所有简正振动方式的线性叠加 用弦振动中相同的方法,可以得到: 知道?0 和 v0 的具体函数形式就可完全确定棒的位移. 由于两端(x=0,x=l)不受应力作用,边界条件 代入 B=0 某一瞬时外力突然对它作用,弦上某点被拉动,偏离平衡位置,然后外力去掉.可以观察到, 初始位置上的位移并没有保持固定,而是以沿弦传播的两个方向各自扰动,一个向左一个向右,具有相等速度,这样弦上形成一定的振动形状. 弦的各部分振动与弦长垂直,而振动的传播方向是沿弦长方向,称弦的振动方式为横振动. t=0 初始扰动 2、受力分析:讨论作用 于弦上的横向扰动(外力) 撤消后,弦的自由振动；如果受到邻段的张力为T和T’(如图). 由于振动只是横振动,因而作用在x方向的合力为零,即 1、分段:把弦分成许多极小的小段,任取一小段ds研究它的情况. 在垂直(横向)方向上,张力的分量为: 在 x 处: 在 x +dx 处: 作用在