2016年竞赛与自主招生专题第十二讲 立体几何 （教师版）.doc

2016 年竞赛与自主招生专题第十二讲立体几何 从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距. 所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。 在近年自主招生试题中，立体几何是高中数学中具有联结和支撑作用的主干知识，它既是中学数学的重要内容，又是学习高等数学的必要基础，因而是高考数学与高校自主招生命题的主要板块之一。立体几何问题大致可以分为两大类：一是空间几何的结构特征、简单几何体的表面积和体积的计算方法，如旋转体的体积和表面积，割补定理等；二是从构成空间几何体的基本元素——点、线、面人手研究它们的性质以及相互之间的位置关系等，如线、面之间的垂直于平行的位置判断与证明等。 一、知识精讲 一．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直； （3）转化为该线与另一线的射影垂直； （4）转化为该线与形成射影的斜线垂直. 二．证明直线与平面垂直的思考途径： （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 三．空间的线线平行或垂直：设，，则： 1.平行：； 2.垂直：. 四．夹角公式： 设＝，＝，则. 推论 ，此即三维柯西不等式. 五．异面直线所成角： = （其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量） 六．直线与平面所成角：(为平面的法向量). 七．二面角的平面角：或（，为平面，的法向量） 八．空间两点间的距离公式 ： 若，，则 =. 九．点到平面的距离 ： （为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）. 十．柱体、锥体的体积： 1.柱体：（是柱体的底面积、是柱体的高） 2.椎体：（是锥体的底面积、是锥体的高） 十一．长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则有. 十二．球的表面积和体积公式： 1.球的表面积公式：（为球的半径） 2.球的体积公式：（为球的半径） 一．空间余弦定理 如图，平面、相交于直线l。为l上两点，射线在平面内，射线在平面内。已知，且都是锐角，是二面角的平面角，则 。 ?证明：在平面中，过作的垂线，交射线于点。 在平面中，过作的垂线，交射线于点。 设，则， ，并且就是二面角的平面角。 在与中，利用余弦定理，可得等式 ， 所以， 故 二．射影面积公式： 在二面角的一个半平面上的任意凸多边形的面积为，此多边形的另一个半平面上射影多边形的面积为，又二面角的平面角度数为，则。 三．欧拉公式： ?欧拉公式：设、和分别表示凸多边形体面、棱（或边）、顶点的个数，则。 利用欧拉公式可以导出正多面体只有以下五种：正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体。 事实上，设正多面体每个面是边形，每个顶点引出条棱，则棱数应是（面数）与的积的一半，即。① 同时，应是（顶点数）与的积的一半，即。② 由①、②，，代入欧拉公式中，有。 由于故。 显然，不可能同时大于3.由和的意义知，故中至少有一个等于3. 当时，易得；同理，时，。 综上，时，即正四面体；当时，即正六面体；时，即正八面体；时，即正十二面体；时，即正二十面体。 四．祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。 典例精讲 例1．（2011“华约”）两条异面直线互成，过空间中任一点A可以作出（ ）平面与两异面直线都成角。 一个 （B）两个 （C）三个 （D）四个 ?答案 B ?分析与解答：如图，将异面直线平移到A点，记此时两条直线为，成，所确定的平面为，令分别为的两条角平分线。则与所成角相等的平面必经过或。而过与所成角的最大值为。这种情况不合要求。过的平面与所成角的范围为，绕l适当转动平面，并由对称性知，符合要求的平面有且仅有两个。 例2．（2011“卓越联盟”）在正方体中，E为棱的中点，F是棱上的点，且 ，则异面直线EF与所成角的正弦值为（ ）。 （B） （C） （D） ?答案B ?分析与解答：如图，取中点G，连结FG，则EF与所成角即为。不妨设正方体棱长为1，则，。。 例3．（