立体几何空间向量.docVIP

1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面； 2．空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标． 3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若，， 则，，， ， ， ． （2）若，，则． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 4 模长公式：若， 则． 5．夹角公式：． 6．两点间的距离公式：若，，则 7．直线和平面所成角：（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角 一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0(角直线和平面所成角范围： (0，( （2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角 8．公式：已知平面(的斜线a与(内一直线b相交成θ角，且a与(相交成(1角，a在(上的射影c与b相交成(2角，则有 9 二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为，两个面分别为的二面角记为 10．二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做二面角的平面角（2）一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足，则也是的平面角（1）二面角的平面角范围是；（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直 11 两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面 12．面面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 13．面面垂直的性质定理： 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 练习： 1设，，且，记，求与轴正方向的夹角的余弦值 2．　在ΔABC中，已知AB＝(2,4,0),BC＝(－1,3,0)，则∠ABC＝＿＿＿ 3．已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)， ⑴求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S； ⑵若向量分别与向量垂直，且||＝，求向量的坐标 4．直角的斜边在平面内，与所成角分别为，是斜边上的高线，求与平面所成角的正弦值 5．如果二面角的平面角是锐角，点到的距离分别为，求二面角的大小 6．如图，正方体的棱长为1，，求：（1）与所成角； （2）与平面所成角的正切值；（3）平面与平面所成角 7已知正方体的棱长为，是的中点，是对角线的中点， （1）求证：是异面直线和的公垂线；（2）求异面直线和的距离 参考答案： 1设，，且，记， 求与轴正方向的夹角的余弦值 解：取轴正方向的任一向量，设所求夹角为， ∵ ∴，即为所求 2．　在ΔABC中，已知AB＝(2,4,0),BC＝(－1,3,0)，则∠ABC＝＿＿＿ 解： ∴∠ABC＝45° 3．已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5) ⑴求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S； ⑵若向量分别与向量垂直，且||＝，求向量的坐标 分析：⑴ ∴∠BAC＝60°， ⑵设＝(x,y,z)，则 解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴＝(1,1,1)或＝(－1，－1，－1). 4．直角的斜边在平面内，与所成角分别为，是斜边上的高线，求与平面所成角的正弦值 解：过点作于点，连接， 则，，为所求与所成角，记为， 令，则， 则在中，有 在中， ∴与平面所成角的正弦值. 5．如果二面角的平面角是锐角，点到的距离分别为，求二面角的大小 分析：点可能在二面角内部，也可能在外部，应区别处理 解：如图1是点在二面角的内部时，图2是点在二面角外部时， ∵ ∴ ∵ ∴面 同理，面 而面面 ∴面与面应重合 即在同一平面内， 则是二面角的平面角 在中， ∴ 在中， ∴ 故（图1）或（图2） 即二面角的大小为或 说明：作一个垂直于棱的平面，此平面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角 6．如图，正方体的棱长为1，，求： （1）与所成角； （2）与平面所成角的正切值； （3）平面与平面所成角 解：（1）∵ ∴与所成角就是 ∵