概率论与数理统计 第章 随机变量及其分布.ppt

我们观察一个随机现象，其样本空间的样本点可以是数量性质的，也可以是非数量性质的，概率论是从数量的角度来研究随机现象的统计规律性，建立起一系列的公式和定理，借以更好地描述、处理和解决各种与随机现象有关的理论和应用问题．为此，需要将样本空间的样本点与实数联系起来，建立样本空间与实数空间或某一部分的对应关系，这就是随机变量． 本章首先引入随机变量的概念，介绍一些常用的随机变量，最后讨论随机变量函数的分布． 【工作效率问题】 某工厂有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能有一人处理．为了提高设备维修的效率，节省人力资源，考虑两种配备维修工人的方法：其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台． 试比较两种配备维修工人方法的工作效率，即比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小． 【例2-1】有朋自远方来，他可能乘船，乘火车，或者乘飞机，记?1 = {乘船}，?2 = {乘火车}，?3 = {乘飞机}，这就是以? = {?1，?2，?3}为样本空间的随机试验. 现考虑该客人的旅费，假定乘船，火车与乘飞机的单价分别为100，200，300元，则所需旅费就是如下实值函数 X=X(?)是定义在?上，随试验结果而变化的变量. 定义2.1 设随机试验的样本空间为? = {?}，X=X(?)是定义在样本空间?上的实值单值函数，称X = X(?)为随机变量． 　2.1.2 随机变量的分布函数 为了计算与随机变量X有关事件的概率，下面引入随机变量的分布函数的概念． 定义2.2 设X是一个随机变量，对任意实数x，称事件{X ? x}发生的概率 　　　　　　　　　　　 为随机变量X的分布函数，且称X服从F(x)，记为X～F(x)． 由分布函数的定义易知,对任意实数a, b (a ? b),有 可见，若已知X的分布函数F(x)，那么，计算X 落如某个区间的概率就非常方便了． 由于分布函数是一个普通的函数，通过它我们可以方便地利用数学方法来研究随机变量． 分布函数F(x)具有以下三条基本性质： (1) 单调性：F(x)是定义在整个实数轴(–?，+?)上的单调非减函数，即对任意的x1 x2，有 F(x1) ? F(x2)； (2) 有界性：对任意的，有0 ? F(x) ? 1，且 (3) 右连续性：F(x)是x的右连续函数，即对任意的x0，有 还可以证明,满足这三个基本性质的函数一定是某个随机变量的分布函数．从而这三个基本性质成为判别某个函数是否能成为分布函数的充要条件． 【例2.2】向半径为r的圆内随机抛一点，求此点到圆心的距离X的分布函数，并求 解：事件{X ? x}表示所抛一点落在半径为x （0 ? x ? r）的圆内． 若x0，{X ? x}为不可能事件, 则F(x)=P{X?x}=0； 若x?r，{X ? x}为必然事件，F(x) = P{X ? x} =1； 若0 ? x r，由几何概型知 若x0，{X ? x}为不可能事件, 则F(x)=P{X?x}=0； 若x?r，{X ? x}为必然事件，F(x) = P{X ? x} =1； 若0 ? x r，由几何概型知 从而X的分布函数为 且 【例2.3】证明 是一个分布函数． 证：显然F(x)在整个数轴上是连续、单调严增函数，且 因此它满足分布函数的三条基本性质，故F(x)是一个分布函数． 该函数称为柯西分布函数． 2.2 离散型随机变量 2.2.1 离散型随机变量及其分布律 有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量． 如掷骰子朝上一面的点数，一昼夜110接到的呼叫次数等均为离散型随机变量． 定义2.3 设X是一个离散型随机变量，若X的全部可能取值为x1，x2，…，xn，…，则称X取xi的概率P{X = xi} = pi，i = 1，2，…为X的概率分布或简称分布律，也可以称为概率函数． 显然分布律应具有如下性质： (1) 非负性：pi ? 0，i = 1，2，… (2) 归一性： 上述两条性质是分布律必须具有的性质，也是判别某个数列能否成为某个离散型随机变量的分布律的充要条件． 根据分布函数的定义，易知离散型随机变量X的分布函数为：