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浅析高考中导数热点问题 　　摘要：导数是研究函数的有力工具，函数又是我们高考中必考内容之一，所以导数知识就显得非常重要了，历年来的高考涉及函数内容一般都要用导数知识来求解。 　　关键词：导数 函数 单调性 极值 零点 实际问题 　　导数是研究函数的有力工具，函数又是我们高考中必考内容之一，所以导数知识就显得非常重要了，因此现行高中数学教材第一次将导数知识作为必修内容，特别是探究函数的单调性和极值时，导数的优越性就很明显了，历年来的高考涉及函数内容一般都要用导数知识来求解。下面列举数例，供大家参考。 　　一、与曲线的切线有关的热点问题 　　【例1】在曲线y=x3-x上有两个点O（0，0）、A（2，6），求弧OA上点P，使△AOP的面积最大。 　　分析：本题主要考查数形结合的数学思想及导数的几何意义，由于OA是定值，所以若将点P的位置转化到与曲线y=x3-x相切且与OA平???的位置，此时点P到OA的距离最大。 　　解：因为KOA=3，所以过弧OA上点P的直线的斜率K=KOA=3. 　　故k=y=3x2-1=3，即3x2=4 . 　　解得x=或x=-（舍去）. 　　所以x=，y= ，即P（ ， ）. 　　【点评】：利用导数求曲线的切线方程，几乎是新课程高考每年必考的内容，在这类问题中，导数所担负的任务是求出其切线的斜率，这类问题的核心部分是考查函数的思想方法解析几何的基本思想。 　　二、与函数单调性有关的热点问题 　　【例2】设函数f（x）=ax3-3x+1（x∈R），若对于任意的x∈［-1，1］都有f（x）≥0成立，则实数a的值为。 　　【解】本小题考查函数单调性的综合运用。若x＝0，则不论a取何值，f（x）≥0显然成立；当x＞0 即x∈［-1，1］时，f（x）=ax3-3x+1≥0可化为a≥-， 设g（x）=-，则g（x）=， 所以g（x）在区间 0，上单调递增，在区间，1上单调递减，因此g（x）max=g()=4，从而a≥4；当x＜0即-1，0时，f（x）=ax3-3x+1≥0可化为a≤-，g（x）=＞0 　　g（x）在区间-1，0上单调递增，因此g（x）max=g（-1）=4，从而a≤4，综上a =4. 　　【点评】：一般地，涉及到函数的单调性问题，往往可以借助于导数这一工具进行求解。 　　三、与函数最（极）值、值域有关的热点问题 　　【例3】已知x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x2-10x的一个极值点。 　　（Ⅰ）求a； 　　（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间； 　　（Ⅲ）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围。 　　【解】：（Ⅰ）因为f（x）=+2x-10 　　所以f（3）=+6-10=0 　　因此a=16 　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 　　f（x）=16ln（1+x）+x2-10x，x∈（-1，+∞） 　　f（x）= 　　当x∈（-1，1）U（3，+∞）时，f（x）＞0 　　当x∈（1，3）时，f（x）＜0 　　所以f（x）的单调增区间是（-1，1），（3，+∞） 　　f（x）的单调减区间是（1，3） 　　（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（-1，1）内单调增加，在（1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调增加，且当x=1或x=3时，f（x）=0 　　所以f（x）的极大值为f（1）=16ln2-9，极小值为f（3）=32ln2-21 　　因此f（16）=162-10×16＞16ln2-9=f（1） 　　f（e-2-1）＜-32+11=-21＜f（3） 　　所以在f（x）的三个单调区间（-1，1），（1，3），（3，+∞）直线y=b有y=f（x）的图象各有一个交点，当且仅当f（3）＜b＜f（1） ，因此，b的取值范围为（32ln2-21，16ln2-9） 。 　　【点评】：此题重点考察利用求导研究函数的单调性，最值问题，函数根的问题，理解求导在函数最值中的研究方法是解题的关键，数形结合理解函数的取值范围。 　　四、与函数零点有关的热点问题 　　【例4】设a为实数，函数f（x）=-x3+3x+a ， 　　（Ⅰ）求f（x） 的极值； 　　（Ⅱ）当a为何值时，函数y=f（x）恰好有两个零点？ 　　分析：函数y=f（x）的零点就是函数的图象与x轴的交点的横坐标，由此可以通过分析函数的单调性和函数的图象特征进行求解。 　　解：（Ⅰ）令f（x）=-3x2+3=0，解得x1=-1，x2=1. 　　又x∈（-∞，-1）时，f（x）＜0；x∈（-1，1）时，f（x）＞0；x∈（1，∞），f（x）＜0，记f（x）的极大值为M，极小值为m， 　　所以m=f（-1）=a-2，M=f（1）=a+2. 　　故f（x）的极大值为a+2，极小