数学语言“存在”与野“任意”区别.docVIP

数学语言“存在”与野“任意”区别 　　数学是一门严谨的学科，每一个词表述的意义都非常明确，在数学课本选修2-1中首次出现了“存在”与“任意”。其中“任意”可以用“所有的”，“任意一个”，“一切”，“每一个”，“任给”等来代替，并用符号“■”来表示；“存在”可以用“至少一个”，“有些”，“有的”，“有一个”，“有的”等来代替，并用符号“■”来表示。“存在”与“任意”性问题包含了函数、数列、不等式等知识点。在近几年的高考试题中，越来越受到出题者的青睐，有时在同一套试题中多次出现这方面的题目，本文就“存在”与“任意”问题做一分析。 　　1.命题方面 　　例1已知命题p:■x∈R,cosx≤1.则-p是（） 　　A.■x∈R,cosx≥1 B.■x∈R,cosx＞1 　　C.■x∈R,cosx＞1 D.■x∈R,cosx≥1 　　解：本小题考察的是全称命题和特称命题的否定形式，只要定义清楚不难做出正确的答案为C 　　例2命题“■x∈R,2x2-3ax+9＜0”为假命题，求实数 的取值范围 　　解：由题意可知“■x∈R,2x2-3ax+9＜0”为假命题，即在实数范围内找不到一个x，使2x2-3ax+9＜0成立。等价转化为对任意的x，使2x2-3ax+9＜0成立。令g(x)=2x2-3ax+9≥0对x∈R恒成立，有Δ=9a2-8×9≤0，得-2■≤a≤2■，所以实数a的取值范围为-2■≤a≤2■。 　　例3已知命题p:■x∈R,■m∈R,4x-2x+1+m=0。-p为假命题，求实数m的取值范围 　　解：已知-p为假命题，则p为真命题4x-2x+1+m=0得4x-2x+1=m 　　令t=2x(t＞0)m=-t2+2t=-(t-1)2+1当t=1时m取得最大值1，所以实数m的取值范围是(-∞,1] 　　2.函数方面 　　例1对于满足p≤2的所有实数P,求使不等式x2+px+1＞2p+x恒成立的x的取值范围。 　　分析：不等式中出现了两个字母x及p,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。 　　解：不等式即(x-1)p+x2-2x+1＞0,设f（p）=(x-1)p+x2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有：f(-2)＞0f(2)＞0得x2-4x+3＞0x2-1＞0解得：x＜-1或x＞3 　　所以x的取值范围是{x|x＜-1或x＞3}。 　　例2设f（x）=x2-2ax+2,当x∈[-1,+∞]时，都有f（x）≥a恒成立，求a的取值范围。 　　分析：题目中要证明f（x）≥a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+∞]时恒大于0的问题。 　　解：设F(x)=f（x）-a=x2-2ax+2-a 　　?)当Δ=4(a-1)(a+2)＜0时，即-2　　?）当Δ=4(a-1)(a+2)＜0时由图可得以下充要条件： 　　Δ＞0f(-1)≥0-■≤-1即（a-1）（a+2）≥0a+3≥0a≤-1 得-3≤a≤-2; 　　综合可得a的取值范围为[-3，1]。 　　3.参数方面 　　例 1不等式kx2+k-2＜0有解，求k的取值范围。 　　解：要使不等式kx2+k-2＜0有解，即是k(x2+1)＜0有解，得k＜■有解k＜■max，所以k∈(-∞,2)。 　　例 2已知实数a＞0，满足以下条件：①■x∈R，sin x＞a有解；②■x∈■，■，sin2x+asinx-1≥0；求实数a的取值范围。 　　解：由于实数a＞0，由①得：0＜a＜1； 　　由②得：x∈■，■时，sin x∈■，1，则由sin2x+asinx-1≥0得： 　　a≥■-sinx，令t=sinx，则t∈■，1，函数f(t)=■-t在区间（0,+∞]上为减函数，则当t∈■，1时，f(t)=■-t≤f■=■，要使a≥■-sinx在x∈■，■上恒成立，则a≥■； 　　综上可知，实数a的取值范围是■≤a≤1。 　　例3（2010山东）已知函数f(x)=lnx-ax+■-1(a∈R). 　　(Ⅰ)当a≤■时，讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）设g(x)=x2-2bx+4.当a=■时，若对任意x1∈(0,2)，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，求实数b取值范围. 　　解：f(x)=lnx-ax+■-1(x＞0)，f′(x)=■-a+■=■(x＞0) 　　令h(x)=ax2-x+1-a(x＞0) 　　（1）当a=0时，h(x)=-x+1(x＞0)，当x∈(0,1),h(x)＞0,f′(x)＜0函数f(x)单调递减；当x∈（1,+∞)，h(x)＜0,f′(x)＞0函数f(x)单调递增.