专题七：直线、圆和方程、轨迹方程-学生版2.4-2.5.docVIP

专题七：直线与方程、圆与方程、轨迹方程2.24-2.25 一、直线与方程 【知识点一倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角 ①关于倾斜角的概念要抓住三点 ②直线与轴平行或重合时,规定它的倾斜角为③倾斜角的范围（2）直线的斜率 ①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为的直线斜率不存在.记作 ⑴当直线与轴平行或重合时, , ⑵当直线与轴垂直时, ,不存在.②经过两点的直线的斜率公式是③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. 求斜率的一般方法： ①已知直线上两点，根据斜率公式求斜率； ②已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据来求斜率；利用斜率证明三点共线的方法： 已知，若，则有A、B、C三点共线。 知识点二直线平行与垂直两条直线平行对于两条不重合的直线，其斜率分别为，则有 特别地，当直线的斜率都不存在时，的关系为平行两条直线垂直如果两条直线斜率存在，设为，则有 注：两条直线垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确； 由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1如果中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，互相垂直. 【知识点三直线的方程直线方程的几种形式名称 方程的形式 已知条件 局限性 ①点斜式 为直线上一定点， 为斜率 不包括垂直于轴的直线 ②斜截式 为斜率，是直线在轴 上的截距 不包括垂直于轴的直线 ③两点式 不包括垂直于轴和轴的直线 ④截距式 是直线在轴上的非零截距，是直线在轴上的非零截距 不包括垂直于轴和轴或过原点的直线 ⑤一般式 无限制，可表示任何位置的直线 过两点的直线是否一定可用两点式方程表示？不一定(1)若，直线垂直于轴,方程为； (2)若，直线垂直于轴,方程为； (3)若，直线方程可用两点式表示直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式；利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.用截距式方程表示直线时，要注意以下几点：方程的条件限制为，即两个截距均不能为零，因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；用截距式方程最便于作图，要注意截距是坐标而不是长度. 截距式方程的应用 ①与坐标轴围成的三角形的周长为: |a|+|b|+； ②直线与坐标轴围成的三角形面积为: S= ； ③直线在两坐标轴上的截距相等，则或直线过原点，常设此方程为 线段的中点坐标公式 知识点四 直线的交点坐标与距离两条直线的交点 设两条直线的方程是, 两条直线的交点坐标就是方程组的解 （2）几种距离 两点间的距离平面上的两点间的距离公式特别地，原点与任一点的距离点到直线的距离点到直线的距离两条平行线间的距离两条平行线间的距离注:求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； 求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。，圆心，半径为r； 2、点与圆的位置关系： ，点在圆外，=，点在圆上，，点在圆内； 3、一般方程 当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为 当时，表示一个点； 当时，方程不表示任何图形。 4、圆的一般方程的特征是：x2和y2项的系数 都为1 ，没有 xy 的二次项. 5、求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F； 求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． （1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上． （2）圆心在任一弦的中垂线上． （3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． 6、直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况： （1）设直线，圆，圆心到l的距离为 ，则有 ；；； ；；； （2）过圆外一点的切线： ①k不存在，验证是否成立 ②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】 (3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 7、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 设圆， 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 当时两圆外离，此时有公切线四条； 当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； 当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线； 当时，两圆内含； 当时，为同心圆。 注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点 三、轨迹方程 求轨迹方程的注意事