第章无穷级数-习题课.docVIP

第10章 无穷级数习题课 内容提要 1.基本概念 设有序列:,称表达式 为无穷级数,简称级数.当为数列时,称其为常数项级数或数项级数.当()是某个区间上的函数时,称其为上的函数项级数, 例如和等. (1) 数项级数敛散性概念 称 () 为的前项部分和,若部分和数列收敛(设),则称收敛,并称为其和,可记为;否则称发散,发散的级数没有和. (2) 级数收敛的必要条件 若收敛,则必有;反之不真. (3) 级数的基本性质 当时,与敛散性相同; 对于,与敛散性相同. (4) 收敛级数的性质 设,,,有 ;（线性性质） 收敛,且.(加括号性质) (5) 收敛（只要极限存在即可）, 当且仅当数列收敛.（区别数列与级数的概念！） (6) 几何级数与级数的敛散性 收敛的充要条件是,且收敛时; 收敛的充要条件是,特别地,调和级数是发散的. 2.正项级数的审敛法 基本定理:()收敛有上界. 比较法: 设有正项级数,,若,使得当时有成立,则 1 由收敛可得收敛; 2 由发散可得发散. 比较法的极限形式: 设有正项级数,若(有限数或),则 1当时, 与的敛散性相同; 2当时,由收敛可得收敛; 3当时,由发散可得发散. 注: 运用比较法的关键在于: 1事先估计待审级数的敛散性（当时,若,则一般是收敛的,否则可能发散）; 2找到敛散性已知的级数作为比的较基准级数(通常是几何级数或级数). 比值法与根值法 若或(有限数或),则1当时收敛; 2当时发散; 3当时,可能收敛,也可能发散. 积分审敛法 设在上连续、非负且单调递减,记(),则 收敛的充要条件是广义积分收敛. 3.任意项级数的审敛法 (1)绝对收敛定理: 若任意项级数绝对收敛(即收敛),则必收敛,反之不真;但若由比值法与根值法判定发散,则也发散. (2)交错级数的Leibniz准则: 若交错级数()满足条件①及②单调递减,则,且. 4.幂级数的收敛域与和函数的求法 (1)关键在于求()的收敛半径 当其“不缺无限多项”时,使用公式:若或,则; 当其“缺少无限多项”时,要依照的定义使用比值法或根值法求得,有时可做变量代换化为“不缺项”的级数而使用公式. (2)收敛域 {收敛的端点} ({收敛的端点}). (3)求和函数的方法 根据下列幂级数的和函数 1, ; 2,; 3,; 通过逐项积分、逐项求导、加减、变量代换及恒等变形等求出. 5.将函数展为幂级数—Taylor级数 (1)若在的某邻域内无限次可微函数在点处能展成幂级数,则所展级数是惟一的,即必为Taylor级数(时,称为Maclaurin级数) . (2)在内无限次可微函数在点处能展成幂级数的充要条件是 有, 其中是在点的阶Taylor公式中的余项. (3)利用直接展开法可得到下列常用的展开式 1,; 2,; 3,; 4, 收敛半径 . (4)一般采用间接展开法求在点的Taylor展开式. 6.将函数展为Fourier级数 (1)Dirichlet收敛定理:若在(或)上满足条件:①连续或只有有限多个第一类间断点,②至多只有有限多个极值点,则为周期的Fourier级数在上处处收敛,且在(或)上 , 其中Fourier系数 (), (); 特别地,当为的连续点时,, . (2)正弦级数与余弦级数 当为上的奇函数时,其Fourier级数为,称为正弦级数,其中 (); 当为上的偶函数时,其Fourier级数为,称为余弦级数,其中 (). (3)对于定义在半区间上且满足Dirichlet条件的函数，或作奇式延拓,展为以为周期的正弦级数;或作偶式延拓,展为以为周期的余弦级数. 7.利用函数项级数求数项级数的和 一般利用幂级数,有时也利用函数的Fourier展开式求数项级数的和. (1)利用幂级数求数项级数的和,通常按以下步骤进行: 找一个(容易求出和函数的)幂级数,使得; 求的收敛域(应使,否则要另找幂级数); 求出的函数; 利用函数的Fourier展开式求数项级数的和的问题,一般总是附在求的Fourier级数之后,由收敛定理而得. 例如，在例5.3的展开式 中，令即得 （附：易知） 利用这个结果，可得定积分 课堂练习(1-5题选自复习题10) 1.填空题 设幂级数的收敛半径,则的收敛区间为. 解:因为的收敛半径,所以的收敛半径, 从而的收敛半径,故其收敛区间为. (2)函数的Maclaurin级数为. 解: