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相关与回归在运动训练中的应用 世界上的一切事物之间都是相互联系、相互制约的，所以必须从研究事物间的相互联系、相互制约中来探讨事物的发展规律。在统计学中，研究两个或多个变量间的关系及其相互作用、变化规律，常用的方法就是相关与回归。那我们就用相关与回归知识解决运动队训练中存在的一些问题。 一、问题的提出 我们记录了我校初中女生88年10月下旬参加田径单项赛，同时参加100米、跳远这两项比赛的12名女生的成绩（见右表），对100米、跳远成绩进行数据处理，把其中成绩较好的学生 选入代表队（预测一下成绩提高多少，组成最强阵容参加县运会）。 12名女生百米、跳远成绩相关数据表 编号 姓名 ｘ （百米） ｙ （跳远） ｘｙ ｘ2 ｙ2 1 李XX 17. 3.78 64.26 289 14.2884 2 高XX 17. 3.66 62.22 289 13.3956 3 王XX 17. 3.52 59.84 289 12.3904 4 张XX 17.4 3.38 58.81 302.76 11.4244 5 刘XX 17.5 3.42 59.85 306.25 11.6964 6 党XX 17.9 3.49 62.47 320.41 12.1801 7 张XX 18. 3.34 60.12 324 11.1556 8 韩XX 18. 2.86 51.48 324 8.1796 9 杨XX 18.1 3.09 55.93 327.61 9.5481 10 张XX 18.4 3.16 58.14 338.56 9.9856 11 孟XX 19.1 2.69 51.38 364.81 7.2361 12 李XX 19.2 3.05 58.56 368.64 9.3025 ∑ 214.6 39.44 703.065 3844.04 130.7828 1、首先进行相关系数的显著性检验： 相关系数ｒ用下式求出：r= 其中Lxx=Σ（X-）2=ΣX2-（ΣX）2/n Lyy=Σ（Y-）2=ΣY2-（ΣY）2/n Lxy=Σ（X-）(Y-)=ΣXY-（ΣX）（ΣY）/n 将上表中有关数据代入上式得： ｒ＝－0.84 根据相关系数︱ｒ︱判断100米与跳远有无相关 查相关系数表得：ｒ.05=0.576 ｒ.01=0.758 ︱ｒ︱=0.84＞ｒ.01=0.758 ∴ｒ具有非常显著性，100米与跳远具有相关关系 女生100米与跳远呈高度负相关，所以研究此问题具有实际意义。 2、确立回归方程： 由于只有两个变量x、y，所以建立一元回归方程=a+bx，其中表示跳远成绩，x表示百米成绩，a为常数，b为回归系数（回归方程含义是表示当x每变动一个单位时，y平均改变的数值）。 a、b用下列公式求出： 其中 b=Lxy/Lxx a=-b 其中Lxx=Σ（X-）2=ΣX2-（ΣX）2/n Lyy=Σ（Y-）2=ΣY2-（ΣY）2/n Lxy=Σ（X-）(Y-)=ΣXY-（ΣX）（ΣY）/n =a+bx b=Lxy/Lxx=703.065/214.6=-0.3591 =ΣY/n=39.44/12=3.287 =ΣX/n=214.6/12=17.88 a=-b=3.287-0.3591×17.88=9.708 回归方程为=a+bx=9.708-0.3591x 二、讨论：根据回归方程=a+bx，由x推测出的是y的平均值，如上面初女100米与跳远回归方程为＝9.078－0.3591x，当x=17.时，推测跳远成绩＝3.60ｍ。这是否说明凡是初女100米成绩为17.的，都能跳3.60ｍ呢？不是这＝3.60ｍ，而是说凡是100米跑17.的，她们的跳远平均成绩是3.60ｍ，100米成绩是17.的，有的人实际跳远成绩ｙ可能有ｙ＞3.60ｍ或ｙ＜3.60ｍ，但较3.60ｍ相差大的是少数，大部分成绩在3.60ｍ附近。这就形成近似正态分布，故可用正态理论对实际跳远成绩所在的区间（可信限）做估计。 根据正态理论有： 68%可能实际成绩Y在±S之间 95%可能实际成绩Y在±2S之间 99%可能实际成绩Y在±3S之间 (Y围绕形成近似正态分布，则反映Y的离散程度的标准差就存在，用S表示，称为回归标准差。) 直线回归标准差S可用公式S=SY求得。（式中SY表示变量Y的标准差，r为相关系数）。 初女100米跳远成绩的直线回归可信度为： 先根据前面表中数据求SY、S SY=0.324 S=0.176 所以当X=17. =3.60米，初女100米跳远成绩的直线回归可信度为： 有68%可能实际跳远成绩Y在±S之间 即3.60±0.176 即3.42Y3.78 有95%可能实际跳远成绩Y在±2S之间 即3.60±0.17