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高考总复习?数学（理科） 第三节　排列与组合(二) 第十章 用定义法求组合数 【例1】　(1)方程x＋y＋z＝9共有n组正整数解，则n等于_____________． (2)10名战士站成一排，从中任选3个互不相邻的战士去执行一项任务，则不同的选派方法的种数是_____________． 解析：(1)将9个1摆成一个横排，在除两端外侧的8个空当中放上两个“＋”号，将9个1分成三组，左、中、右三组中1的个数，分别为x，y，z的值，所以共有C ＝28组解． (2)问题可理解为：7个人站在一排，现有3人插队，但不相邻，共有多少种选位方法？每选三个位置算1种选法．因为7人前后共有8个空当，所以共有C ＝56种不同的选法． 答案：(1)28　(2)56 点评：组合数计数对应的元素不考虑其在位置上的顺序，解决有关组合数计数问题时，关键是理解所取的元素在分配中没有顺序或只有一种顺序． 变式探究 1．(1)甲、乙两队各派5人按事先排定的顺序进行围棋擂台赛，当一方5人全部负于对方时算一种比赛结果，则甲方获胜的比赛结果共有________种可能． (2)从2,3，…，8七个自然数中任取三个数组成有序数组a，b，c，且a＜b＜c，则不同的数组有________． 解析：(1)一方获胜至少要下5盘棋，至多要下9盘棋，问题可理解为：在9盘对局中，甲方有且只有5盘对局获胜，则甲方获得比赛胜利，所以共有C ＝126种可能． (2)不同的数组有C ＝35组． 答案：(1)126　(2)35 结合两个计数原理求组合数 【例2】　学校资料室有相同的物理书3本，历史书2本，数学书4本，分别借给4个理科学生和3个文科学生，每人限借与本学科相关的书1本，求共有多少种不同的借法？ 点评：实际问题中的计数问题一般都可以由两个计数原理来求出．在每类或每步计数中，如果能用组合数公式计数就直接按组合数公式计算． 变式探究 2．四位数 “2012”含有数字0,1,2，且有两个数字2. 则含有数字0,1,2，且有两个相同数字的四位数的个数为(　　) A．18　　 B．24　　 C．27　 D．36 解析：依题意，就所含的两个相同数字是否为0进行分类计数：第一类，所含的两个相同数字是0，则满足题意的四位数的个数为 ＝6；第二类，所含的两个相同数字不是0，则满足题意的四位数的个数为 ＝18.由分类加法计数原理得，满足题意的四位数的个数为6＋18＝24，选B. 答案：B 用间接法求组合数 【例3】　平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线． (1)用这9个点可以确定多少条直线？ (2)用这9个点可以确定多少个三角形？ (3)用这9个点可以确定多少个四边形？ 解析：(1)确定一条直线需要两个点，因为有4个点共线，所以这9个点所确定直线的条数为 (2)确定一个三角形需要三个不共线的点，所以这9个点确定三角形的个数为 (3)确定一个四边形需要四个不共线的点，所以这9个点确定四边形的个数为 点评：当一个组合数的分类较多，或正面求解较复杂时，可用从反面考虑，在整体中把不符合的组合数去掉得到满足条件的组合数． 变式探究 3．从4名男生和5名女生中任选5人参加数学课外小组． (1)选2名男生和3名女生，且女生甲必须入选的方法数为________； (2)最多选4名女生，且男生甲和女生乙不同时入选的方法数为________． 排列组合应用题 【例4】　按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？ (1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本； (2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本； (3)平均分成三份，每份2本； (4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本； (5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本； (6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本； (7)甲得1本，乙得1本，丙得4本． 思路点拨：这是一个分配问题，解题的关键是搞清事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏． 点评：均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组．无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数；还要充分考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数． 高考总复习?数学（理科）