竞赛数学解题研究之不等式.docVIP

《竞赛数学解题研究》之不等式证明 专题一、利用公式法证明不等式 一、公式法 1、柯西不等式：设与为任意两数组，则 等号当且仅当时成立。 例1、设，求的最大值。（第7届美国数学竞赛） 例2、设P是锐角内一点，P到三边BC、CA、AB的垂足分别是D、E、F求出（并加以证明）使达到最小值的点P。（1990年，浙江省高中数学夏令营） 例3、设P是内一点，P到三边BC、CA、AB的垂足分别是D、E、F求出（并加以证明）使达到最小值的点P。（IMO22，1981） 例4、设为两两互不相等的正整数，求证： （IMO20） 例5、求出所有的实数a，使得存在非负实数，满足下列关系： ， ， 例6、设都是实数，并且试证：（1963年成都市数学竞赛试题） 2、均值不等式 设为n个正数，则等号当且仅当时成立。 例1、已知的面积S及角A均为定值，记A的两夹边为b,c则当取最小值时，的值为多少。（1985年长沙市数学竞赛） 例2、设都是正数，证明：（1984年全国高中数学联赛） 3、排序不等式： 设与为两数组， 则，其中是的一个排列，等号当且仅当或时成立。（同序最大，倒序最小，乱序居中） 例1、设是正数的一个排列，证明： （匈牙利数学竞赛试题） 例2设为两两各不相同的正整数，求证：对任何正整数n，下列不等式成立。（IMO20） 例3、设，，又设是的一个排列，求证：。(IMO17) 二、代换法（代数代换法、三角代换法） 1、代数代换法 在几何问题中，寻求含有不等式所涉及的元素的关系式，可用代数法证之。 设的三边长分别为a,b,c，通过代换。 ，易得a=y+z,b=z+x,c=x+y 则：半周长； 面积； 外接圆半径；内切圆半径 例1、已知，它的内心为I，的内角平分线分别交对边于 ，求证：。（IMO32-1） 例2、已知三角形的三边长为，其面积为S，求证：， 并说明取等号的条件是什么。（IMO3） 例3、已知三角形的三边长为，证明：并说明取等号的条件是什么。（IMO24，1983） 例4、已知三角形的三边长为， 证明：（IMO6） 例5、设为正数，试证：（83年瑞士数学竞赛）。 2、三角代换法 例1、已知求证： 例2、设，求函数的最大值。 例3、设都是实数，并且试证：（1963年成都市数学竞赛试题） 3、其他类型的代换法 例1、设为正实数，且满足，求证： （IMO1995） 例2、设为正实数，且满足，证明： （IMO41） 三、数学归纳法 例1、已知为正实数，且，试证对每个,有 （1988年全国高中数学联赛） 四、增量法 例1、已知三角形的三边长为， 证明：（IMO6） 例2、设都是正数且，证明： （1984年全国高中数学联赛） 例3、设为非负实数，且，证明：（IMO25） 五、构造对偶式法 例1、设为正实数，求证：。 例2、设；都是正实数，且，证明：（1991年亚太地区数学竞赛） 例3、设都是正实数，且， 求证： （第24届全苏数学竞赛） 例4、设都是正实数，且，证明：（第6届河南省高中数学竞赛） 例5、证明：对任意，有不等式 （第26届独联体数学竞赛）。 例6、已知，求证：（第31届IMO预选题）。 六、构造函数法 例1、设为非负实数，且，证明：（IMO25） 例2、设为正实数，且满足，求证： （IMO36，1995） 例3、设为正实数，，求证： （1963年莫斯科数学竞赛） 例4、设为三角形的三边，，求证： （1988年第二届友谊杯数学竞赛） 例5、设为正实数，且满足，求证：（IMO31，预选题）