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人教A版选修2-1第二章学案椭圆的概念及其图像与性质
专题:椭圆的概念及其图像与性质※知识梳理1.椭圆的概念在平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做________.这两定点叫做椭圆的________,两焦点间的距离叫________.集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a0,c0,且a,c为常数:(1)若________,则集合P为椭圆;(2)若________,则集合P为线段;(3)若________,则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程()()图形性质x、y范围对称性对称轴:对称中心:顶点坐标轴长轴=;短轴=;焦距|F1F2|=;离心率e=∈()a,b,c的关系焦半径设P(x0,y0)※题型讲练【例1】已知一动圆与圆O1:(x+3)2+y2=1外切,与圆O2:(x-3)2+y2=81内切,求该动圆圆心的轨迹方程.变式训练1:1.求过点A(2,0)且与圆x2+4x+y2-32=0内切的圆的圆心的轨迹方程是.2.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,且点N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹方程是.【例2】求满足下列各条件的椭圆的标准方程:(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0);(2)经过两点A(0,2)和B(,);变式训练2:1.过点(3,0),离心率e=的椭圆的标准方程为___________.2.过点(,-),且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程为_____________.【例3】已知曲线C的方程为+=1.(1)若C为圆,求m的值;(2)若C为椭圆,求m范围.(3)若C为椭圆且焦点在x轴上,求m范围.变式训练3:1.已知椭圆+=1,长轴在y轴上.(1)求m的范围;(2)若焦距为4,求m的值;(3)若离心率为e=,求m的值.【例4】设F1,F2分别是椭圆+=1的左,右焦点,P为椭圆上任一点.(1)求△F1PF2的周长;(2)若PF1⊥PF2,求△F1PF2的面积;(3)设点M的坐标为(6,4),求|PM|+|PF1|的最大值.变式训练4:1.已知椭圆+=1内有一点P(1,-1),F为椭圆的右焦点,在椭圆上有一动点M,则|MP|+|MF|的最大值为.2.已知椭圆方程+=1 (ab0),焦点为F1、F2,P是椭圆上一点,若∠F1PF2=θ,求证:面积S△PF1F2=b2tan.【例5】设F1,F2分别是椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,根据下列条件,分别求椭圆的离心率:(1)若PF1⊥PF2,tan∠PF1F2=;(2)若PF1的中点在y轴上,∠PF1F2=30°.变式训练5:1.已知椭圆+=1(ab0)的两焦点为F1、F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为________.【例6】已知椭圆C:2x2+y2=4内有一点P(1,1),过点P的直线l与椭圆相交于A、B两点,若点P为AB中点.(1)求直线l方程; (2)求弦AB的大小.变式训练6:1.椭圆+=1内有一点P(1,-1),过点P且以P为中点的直线方程为.2.已知直线l:y=x+m和椭圆C:+y2=1交于A、B两点,(1)求m的取值范围;(2)若弦AB=,求m的值.3.已知点A(0,-2),椭圆E:+=1(ab0)的离心率为,左右焦点为F1、F2,直线AF2的斜率为,O为坐标原点.(1)求椭圆E的方程;(2)若点P为椭圆E上动点.求·的最大值;(3)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
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