第一节 微分方程概念.pptVIP

* 一、 微分方程的概念 二、 可分离变量的微分方程 三、 齐次型微分方程及其解法 §6.1 微分方程的概念 函数是研究客观事物运动规律的一个重要工具，因此寻求客观事物运动变化过程中的函数关系是十分重要的，然而，在许多问题中，往往不能直接找出所需的函数关系。但根据问题所给的条件，有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式，这样的关系式就是所谓的微分方程。 解 为了便于阐述微分方程的有关概念，先看下面例子： 例1 一曲线通过点 ，且在该曲线上任一点 切线的斜率为 ，求这曲线的方程。 对上式两边积分有 由于所求曲线通过点 一、微分方程的概念 1.微分方程的定义 凡含有未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程叫微分方程。 例 2.微分方程的分类 3.微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。 例2 判断下列方程是否为微分方程？若是，是几阶 的微分方程？ 解 （1）是，1阶； （2）是，1阶； （3）是，2阶； （4）是，3阶； （5）是，1阶； （6）不是。 4.微分方程的解 任何代入微分方程后使微分方程恒成立的函数。 （1）微分方 程的通解 如果在微分方程的解中，所含的独立的常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解就叫微分方程的通解 （2）微分方程的特解 当微分方程的通解中各任意常数都取定值时所得的解 （3） 微分方程的初始条件 确定通解中的任意常数的附加条件。 5.微分方程解的几何意义 通解的图象: 积分曲线族. 特解的图象: 微分方程的积分曲线. 例3 解 又因为这个解中含有两个独立的任意常数 ，而方程为二阶微分方程，所以 因此方程满足初始条件的特解为 二、可分离变量的微分方程 2. 解法如下（分离变量法） 1. 定义 形如 的微分方程称为可分离 量的微分方程。 （1）分离变量 （2）两边积分 （3）求出积分，得通解。 例4 求 解 分离变量有 两端积分 的通解。 即 所以原方程的通解为 3. 例题 例5 求 解 分离变量有 两端积分 的通解。 有 所以原方程的通解为 解释为什么不取绝对值 即 原方程变形为： 两边积分 例6 解 从而 求微分方程 满足 初始条件 的特解。 即 则所求方程的通解为： 由 得 则所求方程的特解为： 三、齐次型微分方程及其解法 1. 定义 形如 的微分方程称为齐次型微分方程。 2. 解法如下（变量代换法） * * * * *