第一节 行列式概念.pptVIP

思考题 1.已知 思考题解答 解 含 的项有两项, 对应于 2. 在5阶行列式中,确定 的符号。 主要内容: 行列式的定义、性质及其计算. 重点内容： 行列式的计算 第一章 行 列 式 第一节 行列式的概念 　 引例 用消元法解二元线性方程组 （１） 解 用加减消元法，可得 一、二阶行列式与三阶行列式入 当 a11a22-a12a21?0 时，求得方程组（１）的解为 （２） 为了记忆该公式，引入记号 称之为二阶行列式． 由二级行列式的定义， 分子也可写成二阶行列式，即 式中 x1、x2 若记 注意：Ｄ称为系数行列式，Ｄj是用常数项b1、b2替 换Ｄ中的第 j 列 ( j =1,2 ) 则当 Ｄ?０时，方程组 有唯一解 类似地,可引入三阶行列式. 定义 设有 9 个数排成 3 行 3 列的数表 记 （4）式称为数表（3）所确定的三阶行列式. 沙路法 三阶行列式的计算 .列标 行标 主对角线 副对角线 可以证明,当三元线性方程组的系数行列式不 等于零时方程组有唯一解,且有类似于二元线性方 程组的求解公式, 即 xj = Dj /D ( j=1, 2, 3 ). 问 题: 对于n元线性方程组,是否也有类似的求解公式. 余子式和代数余子式 在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作 叫做元素 的代数余子式． 例如 设有 n2 个数，排成 n 行 n 列的数表, an1 an2 … ann ………... a21 a22 … a2n a11 a12 … a1n n 阶行列式的定义 定义 称为n阶行列式. 简记作 det(aij)，其中数 aij 为行列式 的（i,j） 元素. determinant 例1 例2 计算下三角行列式 三阶行列式的结构 容易看出: 任一项除正负号外可写成 个下标(行标)排成标准排列 123 , 而第二个下标 (1) 上式右边的每一项都恰是三个元素的乘 积,这三个元素位于不同的行、不同的列． 因此， 这里第一 (列标)排成j1 j2 j3 ,它是1、2、3这三个数的某个 有６项． 排列． 这样的排列共有 3!=６种，故上式右端共 (2) 各项的正负号与列标的排列对照： 带正号的三项列标排列是：123 , 231 , 312 ; 带负号的三项列标排列是：132 , 213 , 321. 故三级行列式可以写成 ? 定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列（也简称排列）. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn表示. 全排列及其逆序数 Pn = n · (n - 1) · … · 3 · 2 · 1 = n! . 定义 在一个排列中, 如果一对数的前后 位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数， 那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总 数就称为这个排列的逆序数. 排列 j1 j2 … jn 的逆序数记为 t (j1 j2 … jn) . 定义 逆序数为奇数的排列称为奇排列, 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 例如 排列32514 中， 3 2 5 1 4 3 1 故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5. 为奇排列. 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每 个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数. 计算排列逆序数的方法 例 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. 解 此排列为偶排列. 解 当 时为偶排列； 当 时为奇排列. 对 换 定义 在排列中，将任意两个元素对调，其 余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换. 将相邻两个元素对换，叫做相邻对换. 例如 对换的性质 定理　一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性． 证明 设排列为 对换 与 除 外，其它元素的逆序数不改变. 当 时， 的逆序数不变; 经对换后 的逆序数增加1 , 经对换后 的逆序数不变 ， 的逆序数减少1. 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 当 时， 现来对换 与 对换 与 次相邻对换 次相邻对换 次相邻对换 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性. 推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，