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【2005全国1，理21】已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线. （1）求椭圆的离心率； （2）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值.2， 【2009全国卷Ⅰ，理21】如图，已知抛物线E:y2=x与圆M:(x－4)2+y2=r2(r＞0）相交于A、B、C、D四个点.（Ⅰ）求r的取值范围;(Ⅱ)当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标.共线，得即 ①由（I）知又又，代入①得 故为定值，定值为1.（Ⅱ）不妨设E与M的四个交点的坐标为A（x1,)、B(x1,)、C(x2,)、D(x2,).则直线AC、BD的方程分别为,.解得点P的坐标为（,0).求导数，f′(t)=-2(2t+7)(6t-7).令f′(t)=0，解得,(舍去）.当0＜t＜时，f′(t)＞0;时，f′(t)=0;时，f′(t)＜0.故当且仅当时，f(t)有最大值，即四边形ABCD的面积最大.故所求的点P的坐标为（，0）.3，已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为－1，离心率为e＝.(1)求椭圆E的方程；(2)过点(1,0)作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使·为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由．解　(1)设椭圆E的方程为＋＝1(ab0)，由已知得解得所以b2＝a2－c2＝1.所以椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)假设存在符合条件的点M(m,0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＝(x1－m，y1)，＝(x2－m，y2)，·＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2.①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，由得x2＋2k2(x－1)2－2＝0，即(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，y1y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝k2x1x2－(x1＋x2)＋1]＝－，所以·＝－m·＋m2－＝.因为对于任意的k值，·为定值，所以2m2－4m＋1＝2(m2－2)，得m＝.所以M，此时，·＝－.②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，则x1＋x2＝2，x1x2＝1，y1y2＝－，由m＝，得·＝－.综上，符合条件的点M存在，且坐标为.4，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(4,0)．(1)若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；(2)设A，B为抛物线上的两点，且直线AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．(1)解　由已知得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－4)，由题意知抛物线的焦点坐标为(1,0)，因为点F到直线l的距离为，所以＝，解得k＝±，所以直线l的斜率为±.(2)证明　设线段AB中点的坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线AB不与x轴垂直，所以AB斜率存在，所以直线MN的斜率为，直线AB的斜率为，直线AB的方程为y－y0＝(x－x0)，联立方程得消去x，得y2－y0y＋y＋x0(x0－4)＝0，所以y1＋y2＝，因为N为线段AB的中点，所以＝y0，即＝y0，所以x0＝2.即线段AB中点的横坐标为定值2.5,如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右顶点分别为，，过右焦点的直线与椭圆交于，两点（点在轴上方）.（1）若，求直线的方程；（2）设直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）【解析】故存在常数，使得．6,已知椭圆：（）的左焦点为，.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线交椭圆于，两点.①若直线经过椭圆的左焦点，交轴于点，且满足，.求证：为定值；②若（为原点），求面积的取值范围.【答案】（1）（2）①②设，，将代入椭圆得到，，，同理，，的面积.令，，令，则.综上所述，.7,在平面直角坐标系中，已知圆经过椭圆的焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交椭圆于两点，为弦的中点，，记直线的斜率分别为，当时，求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】所以，又，所以，所以，， ……………10分则. …………14分方法二：设，，，则，设，，将代入椭圆得到，，，同理，，的面积.令，，令，则.综上所述，.8,已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线交椭圆于两点，线段的中点为，为坐标原点，且，求面积的最大值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1【解析】解：（1）由已知得，， 解得，， ……2分椭圆的方程是.