高理科数学解题法篇数列.docVIP

高考递推数列分类 类型1：渗透三角函数周期性 数列与三角函数的结合是一类创新试题，利用三角函数的周期性体现数列的变化，利用三角不等式进行放缩是证明数列不等式的常见方法。 例1（2008年湖南卷，18，满分12分） 数列{an}满足a1=1，a2=2，an?2 n?n? ?(1?cos)an?sin,n?1,2,3... 22 22 求a3，a4,并求数列{an}的通项公式； 解:因为a1?1,a2?2,所以a3?(1?cos2a4?(1?cos2?)a2?sin2??2a2?4 ? 2 )a1?sin2 ? 2 ?a1?1?2, 一般地?当n?2k?1(k?N?)时,a2k?1?[1?cos2?a2k?1?1,即a2k?1?a2k?1?1 (2k?1)?2k?1 ]a2k?1?sin2?22 所以数列{a2k?1}是首项为1?公差为1的等差数列?因此a2k?1?k当n?2k(k?N?)时,a2k?2?[1?cos2 2k?2k? ]a2k?sin2?2a2k22 所以数列{a2k}是首项为2?公比为2的等比数列?因此a2k?2k ?n?1? ,n?2k?1(k?N)?2 故数列{an}的通项公式为an?? ?n?2 ?2,n?2k(k?N) 本题分为两种情况，采取非常规的递推数列求通项的方法，利用三角函数的诱导公式寻找递推关系，体现三角函数的周期性，进而求出该数列的通项为一分段数列。 例2（2009年江西，文，21，满分12分） n?n??sin)，其前n项和为 数列{an}的通项an?n(cos33 2 22 （1）求sn； （2）令bn? s3n ，求数列{bn}的前n项和Tn n?4n 1 n?n?2n?解:(1)由于cos?sin?cos,故333 s3k?(a1?a2?a3)?(a4?a5?a6)?...?(a3k?2?a3k?1?a3k) 12?2242?52(3k?2)2?(3k?1)2 22?(??3)?(??6)?...?[??(3k)2]222 133118k?5k(9k?4)2 ???...??2222 k(4?9k)s3k?1?s3k?a3k?2 k(4?9k)?(3k?1)2(3k?1)213k?21s3k?2?s3k?1?a3k?1????k???22236 ?n1??3?6,n?3k?2 ??(n?1)(1?3n)故sn??,n?3k?1,(k?N?)6??n(3n?4),n?3k?6? s9n?4(2)bn?3n n?n?424n 113229n?4Tn?(?2?...?)n2444 1229n?44Tn?(13??...?n)244?1 两式相减得22 99?n1999n?41?9n?4)3Tn?(13??...?n?1?)?(13?122444n4n1?4 19n?8?2n?3?2n?1 22 813n故Tn???33?22n?322n?1 例3（2009年江西，理8，5分） n?n??sin)，其前n项和为sn，则sn为（ ） 数列{an}的通项an?n(cos33222 A．470 B．490 C．495 D．510 类型2：an+1=an+f(n) 解法思路：把原递推公式转化为an+1-an=f(n)，利用累加法（逐差相加法）求解 例4（2008，江西，理5） 在数列{an}中，a1=2,an+1=an+ln(1?),则an= 2 1n A．2+lnn B．2+(n-1) lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn 例5（2009，全国I，理22） 在数列{an}中，a1=1,an+1=(1?)an? （1）设bn?1nn?1 2nan，求数列{an}的通项公式； n （2）求数列{an}的前n项和。 解:(1)由已知得b1?a1?1,且 即bn?1?bn?an?1an1??nn?1n21 2n 11从而b2?b1?,b3?b2?22 ... 1bn?bn?1?n?1(n?2)2 1111于是bn?b1??2?...?n?1?2?n?1(n?2)2222 又b1?1 故所求通项公式为bn?2? (2)由(1)知an?n(2? n12n?1n2n?112)?2n?n?1 令Tn??2k?1,则2Tn??2k?2 k?11 于是Tn?2Tn?Tn??2kk?1? k?0nn2n?1?4?n?22n?1 又?(2k)?n(n?1) k?1n 所以sn?n(n?1)? n?2?4n?12 类型3：an+1=f(n)an 解法思路：把原递推公式转化为 例6（2004，全国I，理15） 已知数列{an}，满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项an=_____ 解：由已知，得an+1=a1+2a2+3a3+