微积分第8篇 章无穷级数.pptVIP

说明: 两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比 原来两个幂级数的收敛半径小得多. 例如, 设 它们的收敛半径均为 但是 其收敛半径只是 由定理 2 可知 同时收敛或同时发散 ; (3) 当l = ∞时, 即 由定理2可知, 若 发散 , (1) 当0 l ∞时, (2) 当l = 0时, 由定理2 知 收敛 , 若 是两个正项级数, (1) 当 时, 两个级数同时收敛或发散 ; 特别取 可得如下结论 : 对正项级数 (2) 当 且 收敛时, (3) 当 且 发散时, 也收敛 ; 也发散 . 的敛散性. ～ 例3. 判别级数 的敛散性 . 解: 根据比较审敛法的极限形式知 例4. 判别级数 解: 根据比较审敛法的极限形式知 ～ 定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) 设 为正项级数, 且 则 (1) 当 (2) 当 证: (1) 收敛 , 时, 级数收敛 ; 或 时, 级数发散 . 由比较审敛法可知 因此 所以级数发散. 时 (2) 当 说明: 当 时,级数可能收敛也可能发散. 例如, p – 级数 但 级数收敛 ; 级数发散 . 从而 例5. 讨论级数 的敛散性 . 解: 根据定理4可知: 级数收敛 ; 级数发散 ; ?对任意给定的正数 ? 定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设 为正项级 则 证明提示: 即 分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确. 数, 且 时 , 级数可能收敛也可能发散 . 例如 , p – 级数 说明 : 但 级数收敛 ; 级数发散 . 例6. 证明级数 收敛于S , 似代替和 S 时所产生的误差 . 解: 由定理5可知该级数收敛 . 令 则所求误差为 并估计以部分和 Sn 近 二 、交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数 称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件: 则级数 收敛 , 且其和 其余项满足 证: 是单调递增有界数列, 又 故级数收敛于S, 且 故 收敛 收敛 用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性: 收敛 上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ? 发散 收敛 收敛 三、绝对收敛与条件收敛 定义: 对任意项级数 若 若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 收敛 , 数 为条件收敛 . 均为绝对收敛. 例如 ： 绝对收敛 ； 则称原级 数 条件收敛 . 定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 . 证: 设 根据比较审敛法 显然 收敛, 收敛 也收敛 且 收敛 , 令 例7. 证明下列级数绝对收敛 : 证: (1) 而 收敛 , 收敛 因此 绝对收敛 . (2) 令 因此 收敛, 绝对收敛. 其和分别为 绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质. *定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. ( P203 定理9 ) 说明: 证明参考 P203～P206, 这里从略. *定理9. ( 绝对收敛级数的乘法 ) 则对所有乘积 按任意顺序排列得到的级数 也绝对收敛, 设级数 与 都绝对收敛, 其和为 但需注意条件收敛级数不具有这两条性质. (P205 定理10) 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 8.3 幂级数 一、 函数项级数的概念 设 为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对 若常数项级数 敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 为定义在区间 I 上的函数, 称 收敛, 发散 , 所有 为其收 为其发散点, 发散点的全体称为其发散域 . 为级数的和函数 , 并写成 若用 令余项 则在收敛域上有 表示函数项级数前 n 项的和, 即 在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它 例如, 等比级数 它的收敛域是 它的发散域是 或写作 又如, 级数 级数发散 ; 所以级数的收敛域仅为 有和函数 二、幂级数及其收敛性 形如 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 下面着重讨论 例如, 幂级数 为幂级数的系数 . 即是此种情形. 的情形, 即 称 发 散 发 散 收 敛 收敛 发散 定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数 则对满足不等式 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 证: 设 收敛, 则必有 于是存在 常数 M 0, 使 当 时, 收