微积分课件2.2函数的极限教材课程.pptVIP

§2.2 函数的极限 一. 函数极限的概念 二. 函数极限的性质 一. 函数极限的概念 在§2.1中, 我们讨论了特殊函数─数列{f(n)}的极限, 现在我 们来讨论一般函数f(x)的极限. 由于一般函数 f(x)中的自变量x 的变化趋势通常可分为“ x → ∞”和“x → x0”两种, 所以我们将 分两种情况分别予以讨论. 1. 当 x →∞ 时, 函数?(x)的极限 仿照数列极限的定义, 下面我们给出 x →∞ 时, ?(x)的极限的定义. 定义2.2.1　设函数 ?(x)当 大于某一正数时有定义， 如果存在 常数 A, 对于任意给定的 , 总存在 使得当x 满足不等 式 时, 不等式 恒成立, 则称常数 A为当 x →∞ 时函数?(x) 的极限, 或称当 x →∞ 时?(x) 收敛于A,记作 （当 x →∞ ） 或 o x y A+ε A A–ε X y=?(x) 图2.2.1. 当 x →∞时, ?(x) 收敛于A的几何意义： 对于任意给定的 总存在正数X, 当 时, 的图形位于两条直线 y =A–ε 及 y =A + ε 曲线 之间, 如图2.2.1. 例1 证明 证明 2.几何意义 o ° o x y A+ε A A–ε y=?(x) 可作两条直线 y = A–ε 及 y =A+ε. 则在x轴上总存在 即在该去心邻域内对应的函数曲线 y = f(x)一定介于这两条直线之间, 如图2.2.2. 以 为心, δ为半径的去心邻域 图2.2.2 只须 由于当 x=1 时, 无定义, 则当 x≠1 时, 恒有 成立. 即 要使 , 即 故可取 证明 例3 在定义2.2.2中, 极限过程 x →x0包括了x 同时从 x0的左、右 两侧无限的趋于x0 . 但是, 有时我们只能或只需考虑 x 仅从 x0 的左侧或右侧趋于 x0 （记为 x →x0- 或 x →x0 +）时, f(x)的变 化趋势. 例如函数 只能从2的右侧趋于2, 从而就必须引进函数左、右极限的概念. 定义2.2.3 设函数?(x)在点x0右侧某个去心邻域内有定义, 如果存在常数A, 对于任意给定的ε 0, 总存在δ 0, 使得 当x 满足不等式 恒成立, 那么常数A就叫做函数?(x)当 时的右极限, 记做 就可以得到在 x0处的左极限. 记为 类似地, 在 的定义中, 把 改为 左极限和右极限统称为单侧极限. 由极限定义易知以下的 充要条件成立. 定理2.2.1 函数 y = ?(x) 当 x→ x0 时极限存在且为 A 的充 要条件是函数y = ?(x) 的左极限和右极限都存在且等于A. 即 例 4 解 讨论当 时, 函数 的极限. 当 x 0 时, 有 当 x 0 时, 有 由于 ，所以 不存在.